Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{5} (x)$

Étape 1

Écrivez $\cos^{5} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \cos^{5} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \cos^{5} (x) d x$

Étape 4

Factorisez $\cos^{4} (x)$ .

$\int \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Étape 5.2

Réécrivez ${\cos (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Étape 7

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Étape 8

Développez ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez ${(1 - u^{2})}^{2}$ comme $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Étape 8.5

Déplacez $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Étape 8.6

Déplacez $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 8.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 8.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 8.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 8.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Étape 8.11

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 8.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 8.13

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 8.14

Soustrayez $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$\int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Étape 8.15

Remettez dans l’ordre $- 2 u^{2}$ et $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Étape 8.16

Déplacez $1$ .

$\int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Étape 11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Étape 14.2

Simplifiez

$\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{5} (x)}{5} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \cos^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$