Calcul infinitésimal Exemples

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

Étape 1

Soustrayez $x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$ des deux côtés de l’équation.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2} - x^{2}) = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2}) - x^{2} (- x^{2}) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - x^{2} (- x^{2}) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) = 0$

Étape 2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} = 0$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} = 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + 1 x^{4} = 0$

Étape 2.4.4

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4} = 0$

Étape 3

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 3.1.2

Évaluez $\frac{d}{d a} [a^{3} y]$ .

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Étape 3.1.2.1

Comme $y$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $a^{3} y$ par rapport à $a$ est $y \frac{d}{d a} [a^{3}]$ .

$y \frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$y (3 a^{2}) + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 3.1.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$3 y a^{2} + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 2 x^{2}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- 2 x^{2} a^{2}$ par rapport à $a$ est $- 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$3 y a^{2} - 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y a^{2} - 2 x^{2} (2 a) + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 3.1.4

Comme $x^{4}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $x^{4}$ par rapport à $a$ est $0$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + 0$

Étape 3.1.5

Simplifiez

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Étape 3.1.5.1

Additionnez $3 y a^{2} - 4 x^{2} a$ et $0$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a$

Étape 3.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (a) = 3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (a)$ par rapport à $a$ est $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ .

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

Étape 4

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$ .

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Étape 4.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$

Étape 4.2

Factorisez $a$ à partir de $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $a$ à partir de $3 a^{2} y$ .

$a (3 a y) - 4 x^{2} a = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez $a$ à partir de $- 4 x^{2} a$ .

$a (3 a y) + a (- 4 x^{2}) = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez $a$ à partir de $a (3 a y) + a (- 4 x^{2})$ .

$a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$a = 0$

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.4

Définissez $a$ égal à $0$ .

$a = 0$

Étape 4.5

Définissez $3 a y - 4 x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $3 a y - 4 x^{2}$ égal à $0$ .

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $3 a y - 4 x^{2} = 0$ pour $a$ .

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Étape 4.5.2.1

Ajoutez $4 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 a y = 4 x^{2}$

Étape 4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 a y = 4 x^{2}$ par $3 y$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 a y = 4 x^{2}$ par $3 y$ .

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Étape 4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Étape 4.5.2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Étape 4.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.5.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Étape 4.5.2.2.2.2.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$ vraie.

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Étape 5

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 6

Évaluez $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ sur chaque valeur $a$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 6.1

Évaluez sur $a = 0$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez $a$ par $0$ .

${(0)}^{3} y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Étape 6.1.2

Simplifiez

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Étape 6.1.2.1.2

Multipliez $0$ par $y$ .

$0 - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Étape 6.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 2 x^{2} \cdot 0 + x^{4}$

Étape 6.1.2.1.4

Multipliez $- 2 x^{2} \cdot 0$ .

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Étape 6.1.2.1.4.1

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$0 + 0 x^{2} + x^{4}$

Étape 6.1.2.1.4.2

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$0 + 0 + x^{4}$

Étape 6.1.2.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + x^{4}$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + x^{4}$

Étape 6.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $x^{4}$ .

$x^{4}$

Étape 6.2

Évaluez sur $a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez $a$ par $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

${(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{3} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

$\frac{{(4 x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $4 x^{2}$ .

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $3 y$ .

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{64 {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 6.2.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 x^{2 \cdot 3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{64 x^{6}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1

Factorisez $y$ à partir de $27 y^{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{{(4 x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $4 x^{2}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.5.3

Appliquez la règle de produit à $3 y$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.6.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{2 \cdot 2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.6.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.8

Multipliez $- 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.8.1

Associez $- 2$ et $\frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 2 (16 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.8.2

Multipliez $16$ par $- 2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.8.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{2} (- 32 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.8.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.8.4.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4} x^{2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.8.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4 + 2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.8.4.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{6} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.9

Déplacez $- 32$ à gauche de $x^{6}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{- 32 \cdot x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.2

Pour écrire $- \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} \cdot \frac{3}{3} + x^{4}$

Étape 6.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27 y^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.2.3.1

Multipliez $\frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{9 y^{2} \cdot 3} + x^{4}$

Étape 6.2.2.3.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.5.1.1

Factorisez $32 x^{6}$ à partir de $64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.2.5.1.1.1

Factorisez $32 x^{6}$ à partir de $64 x^{6}$ .

$\frac{32 x^{6} (2) - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.5.1.1.2

Factorisez $32 x^{6}$ à partir de $- 32 x^{6} \cdot 3$ .

$\frac{32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.5.1.1.3

Factorisez $32 x^{6}$ à partir de $32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{32 x^{6} (2 - 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{32 x^{6} (2 - 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.5.1.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{32 x^{6} \cdot - 1}{27 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$\frac{- 32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.2.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

Étape 6.3

Indiquez tous les points.

$(0, x^{4}), (\frac{4 x^{2}}{3 y}, - \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4})$

Étape 7