Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 (2^{x}) d x$

Étape 1

Multipliez $2$ par $2^{x}$ .

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Étape 1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\int 2^{1} \cdot 2^{x} d x$

Étape 1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2^{1 + x} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 2^{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $2^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C$

Étape 4

Réécrivez $\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C$ comme $\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + x} + C$