Calcul infinitésimal Exemples

$\int (5^{5 x + 1} - 15 x^{4}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 5^{5 x + 1} - 15 x^{4} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5^{5 x + 1} d x + \int - 15 x^{4} d x$

Étape 3

Laissez $u = 5 x + 1$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 5 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$5$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Étape 4

Associez $5^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Étape 6

L’intégrale de $5^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) + \int - 15 x^{4} d x$

Étape 7

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 15$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 \int x^{4} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{x^{5}}{5} + C)$

Étape 9.2

Simplifiez

$\frac{1 \cdot 5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez $5^{u}$ par $1$ .

$\frac{5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $5^{u}$ et $5$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5^{u}$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \ln (5)$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 (\ln (5))} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Étape 9.3.3

Associez $- 15$ et $\frac{x^{5}}{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 15 x^{5}}{5} + C$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $5$ .

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Étape 9.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 15 x^{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5} + C$

Étape 9.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 (1)} + C$

Étape 9.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

Étape 9.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5}}{1} + C$

Étape 9.3.4.2.4

Divisez $- 3 x^{5}$ par $1$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} + C$

Étape 9.3.5

Pour écrire $- 3 x^{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} \cdot \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + C$

Étape 9.3.6

Associez $- 3 x^{5}$ et $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Étape 9.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5^{u - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x + 1$ .

$\frac{5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{\ln (5)} (5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)) + C$