Calcul infinitésimal Exemples

$x y' = x^{2} \sin (x) + y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} \sin (x) + y$

Étape 2

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Étape 2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

Étape 2.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \sin (x)}{1}$

Étape 2.4.2.5

Divisez $x \sin (x)$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \sin (x)$

Étape 2.5

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \sin (x)$

Étape 2.6

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \sin (x)$

Étape 3

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Étape 3.2

Intégrez $\frac{- 1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 3.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 3.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 3.2.4

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 3.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 3.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 4

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Étape 4.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Étape 4.2.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Étape 4.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Étape 4.2.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Étape 4.2.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Étape 4.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Étape 4.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x \sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\sin (x)))$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \sin (x)$

Étape 5

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \sin (x)$

Étape 6

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \sin (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} y = \int \sin (x) d x$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{x} y = - \cos (x) + C$

Étape 9

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{y}{x} = - \cos (x) + C$

Étape 9.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

Étape 9.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

Étape 9.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (- \cos (x) + C) x$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Simplifiez $(- \cos (x) + C) x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \cos (x) x + C x$

Étape 9.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \cos (x) x + C x$ .

$y = - x \cos (x) + C x$

Étape 9.3.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $- x \cos (x)$ et $C x$ .

$y = C x - x \cos (x)$