Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x y$

Étape 1

Ajoutez $x y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{3}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = x$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int x d x}$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$

Étape 3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Laissez $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Alors $d u = x d x$ , donc $\frac{1}{x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1.1

Laissez $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1.1

Différenciez $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 7.1.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Étape 7.1.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Étape 7.1.1.4.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Étape 7.1.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2}$

Étape 7.1.1.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x$

Étape 7.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {\sqrt{2 u}}^{2} e^{u} d u$

Étape 7.2

Réécrivez ${\sqrt{2 u}}^{2}$ comme $2 u$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 u}$ comme ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {({(2 u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} d u$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} d u$

Étape 7.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Étape 7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{1} e^{u} d u$

Étape 7.2.5

Simplifiez

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 u e^{u} d u$

Étape 7.3

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int u e^{u} d u$

Étape 7.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Étape 7.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Étape 7.6

Simplifiez

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

Étape 7.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Étape 7.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Étape 7.8.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Étape 7.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Étape 7.8.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

Étape 7.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ par $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ par $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun à $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ et $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ à partir de $x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 8.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.1.2.4

Divisez $x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ par $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Étape 8.3.1.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $0$ .

$y = x^{2} e^{\frac{0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.4

Divisez $0$ par $2$ .

$y = x^{2} e^{0} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = x^{2} \cdot 1 + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.7

Annulez le facteur commun à $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ et $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 8.3.1.7.1

Factorisez $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ à partir de $- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.7.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.7.2.4

Divisez $- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ par $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.8.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Étape 8.3.1.8.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.8.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.8.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.8.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.9

Multipliez $x^{2}$ par $0$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.10

Divisez $0$ par $2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.11

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.3.1.12

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y = x^{2} - 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$