Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x {(2 x - 1)}^{5}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{5} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{5}$ .

$y + C_{1} = \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{5}}{2} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{u}{2}$ par $\frac{u^{5}}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u \cdot u^{5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Étape 2.3.3.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{1} u^{5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Étape 2.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{1 + 5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Étape 2.3.3.5

Additionnez $1$ et $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Étape 2.3.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Étape 2.3.3.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{u^{5}}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{u^{5}}{2 \cdot 2} d u$

Étape 2.3.3.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{u^{5}}{4} d u$

Étape 2.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} d u + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Étape 2.3.5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{6} d u + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Étape 2.3.7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \frac{1}{4} \int u^{5} d u$

Étape 2.3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{6} u^{6} + C_{3})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Étape 2.3.9.2

Simplifiez

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Étape 2.3.9.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4 \cdot 7} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Étape 2.3.9.2.2

Multipliez $4$ par $7$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Étape 2.3.9.2.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{4 \cdot 6} u^{6} + C_{4}$

Étape 2.3.9.2.4

Multipliez $4$ par $6$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{24} u^{6} + C_{4}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} {(2 x - 1)}^{7} + \frac{1}{24} {(2 x - 1)}^{6} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{28} {(2 x - 1)}^{7} + \frac{1}{24} {(2 x - 1)}^{6} + K$