Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$ , $y (1) = 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Étape 2.3.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $4$ dans $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ .

$4 = - 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$ .

$- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Étape 4.2

Simplifiez $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Étape 4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 1 + K = 4$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Étape 4.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\frac{- 2}{3} + 3 + K = 4$

Étape 4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} + 3 + K = 4$

Étape 4.2.7

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + K = 4$

Étape 4.2.8

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Étape 4.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 + 3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Étape 4.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.10.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- 2 + 9}{3} + K = 4$

Étape 4.2.10.2

Additionnez $- 2$ et $9$ .

$\frac{7}{3} + K = 4$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{7}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 4 - \frac{7}{3}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

Étape 4.3.3

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 7}{3}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$K = \frac{12 - 7}{3}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $7$ de $12$ .

$K = \frac{5}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{5}{3}$ dans $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{5}{3}$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{5}{3}$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y = - x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{5}{3}$