Calcul infinitésimal Exemples

$d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $d x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y^{2} d y = - d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Étape 3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Étape 3.4

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $- 1$ .

$3 y^{2} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 3 y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ comme $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez

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Étape 4.2.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.3.2.3

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.3.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Étape 4.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$y^{3} + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.3.4.1

Réécrivez $- (- x^{- 1} + C_{2})$ comme $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$y^{3} + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez

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Étape 4.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Étape 4.3.4.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y^{3} = \frac{1}{x} + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$

Étape 5.2

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$ .

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Étape 5.2.1

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{K x}{x}}$

Étape 5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$

Étape 5.2.3

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 5.2.4

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 5.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 5.2.5.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 5.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Étape 5.2.5.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 5.2.5.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.2.5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.2.5.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.2.5.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.2.5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Étape 5.2.5.5.5

Simplifiez

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Étape 5.2.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Étape 5.2.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$

Étape 5.2.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (1 + K x)}}{x}$