Calcul infinitésimal Exemples

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{2 \ln (x)}{x}$ et $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x) d x}{x} d x$

Étape 2.3.2

Comme $2 d x$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 d x$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.3.3

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.3.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.3.3.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int u d u$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ comme $2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} d x u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.3.2

Divisez $d x$ par $1$ .

$e^{y} + C_{1} = d x u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = d x \ln^{2} (x) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) d x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = \ln^{2} (x) d x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$