Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2} + x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.5

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Étape 2.6

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Étape 2.6.2

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y$ .

$2 y = y$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 y = y$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y$ .

$\frac{2 y - y}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x y$ .

$\frac{2 y - y}{x y}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $y$ de $2 y$ .

$\frac{y}{x y}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x y}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Étape 6.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | x | + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(x^{2} + y^{2} + x) d x + x y d y = 0$ par le facteur d’intégration $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $x^{2} + y^{2} + x$ par $x$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) x d x + x y d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} x + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{2} x^{1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Étape 7.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{2 + 1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Étape 7.3.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Étape 7.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $x y$ par $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y x d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Déplacez $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x \cdot x y d y = 0$

Étape 7.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x^{2} y d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = x^{2} y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y$

Étape 9.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 9.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Réécrivez $x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 9.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Étape 9.3.2.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Étape 9.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12.3.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12.3.3

Comme $\frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12.3.5

Associez $2$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12.3.6

Associez $\frac{2 y^{2}}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12.3.7.2

Divisez $y^{2} x$ par $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Soustrayez $y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$

Étape 13.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.2.1

Soustrayez $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2} + 0$

Étape 13.1.2.2

Additionnez $x^{3} + x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $x^{3} + x^{2}$ afin de déterminer $g (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} + x^{2} d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} + x^{2} d x$

Étape 14.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Étape 14.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x^{2} d x$

Étape 14.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 14.6

Simplifiez

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 16

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 16.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 16.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 16.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + C$