Calcul infinitésimal Exemples

$x (t^{2} - 1) d t + (t^{3} - 3 t) d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $x (t^{2} - 1) d t$ des deux côtés de l’équation.

$(t^{3} - 3 t) d x = - x (t^{2} - 1) d t$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ .

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $t^{3} - 3 t$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $t^{3} - 3 t$ à partir de $(t^{3} - 3 t) x$ .

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) (x)} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Étape 3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $(t^{3} - 3 t) x$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t^{3} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Étape 3.4

Factorisez $t$ à partir de $t^{3} - 3 t$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{3}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Étape 3.4.2

Factorisez $t$ à partir de $- 3 t$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} + t \cdot - 3} (t^{2} - 1) d t$

Étape 3.4.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 3.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Étape 3.7.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Étape 3.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Étape 3.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t^{2} - 3} t - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Étape 3.8

Associez $\frac{- 1}{t^{2} - 3}$ et $t$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Étape 3.9

Multipliez $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1$ .

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + 1 \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Étape 3.9.2

Multipliez $\frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ par $1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Étape 3.11

Pour écrire $- \frac{t}{t^{2} - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Étape 3.12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(t^{2} - 3) t$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.12.1

Multipliez $\frac{t}{t^{2} - 3}$ par $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{(t^{2} - 3) t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Étape 3.12.2

Réorganisez les facteurs de $(t^{2} - 3) t$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{t (t^{2} - 3)} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Étape 3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1}{t (t^{2} - 3)} d t$

Étape 3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.14.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Étape 3.14.2

Réécrivez $t \cdot t$ comme $t^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t^{2} + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Étape 3.14.3

Remettez dans l’ordre $- t^{2}$ et $1^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{1^{2} - t^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Étape 3.14.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = t$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{x} d x = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 4.3.1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.2

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $t (t^{2} - 3)$ .

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 4.3.1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $t^{2} - 3$ .

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Étape 4.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.3.2.2

Divisez $(1 + t) (1 - t)$ par $1$ .

$(1 + t) (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.4

Développez $(1 + t) (1 - t)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.5.1.2

Multipliez $- t$ par $1$ .

$1 - t + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.5.1.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$1 - t + t + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - t + t - t \cdot t = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.5.1.5

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.1.5.1.5.1

Déplacez $t$ .

$1 - t + t - (t \cdot t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.5.1.5.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$1 - t + t - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.5.2

Additionnez $- t$ et $t$ .

$1 + 0 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.5.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.6

Remettez dans l’ordre $1$ et $- t^{2}$ .

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1.7.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 4.3.1.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.7.1.2

Divisez $A (t^{2} - 3)$ par $1$ .

$- t^{2} + 1 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.7.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.7.4

Annulez le facteur commun de $t^{2} - 3$ .

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Étape 4.3.1.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.1.7.4.2

Divisez $(B t + C) (t)$ par $1$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

Étape 4.3.1.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

Étape 4.3.1.1.7.6

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.1.7.6.1

Déplacez $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

Étape 4.3.1.1.7.6.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

Étape 4.3.1.1.8

Déplacez $- 3 A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

Étape 4.3.1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 4.3.1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $t^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 1 = A + B$

Étape 4.3.1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $t$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = C$

Étape 4.3.1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $t$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 3 A$

Étape 4.3.1.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

Étape 4.3.1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 4.3.1.3.1

Réécrivez l’équation comme $C = 0$ .

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$1 = - 3 A$

Étape 4.3.1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.1.3.2.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Étape 4.3.1.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 A = 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 A = 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Étape 4.3.1.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 4.3.1.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Étape 4.3.1.3.2.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Étape 4.3.1.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Étape 4.3.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- \frac{1}{3}$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.1.3.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $- 1 = A + B$ par $- \frac{1}{3}$ .

$- 1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Étape 4.3.1.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1.3.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Étape 4.3.1.3.4

Résolvez $B$ dans $- 1 = - \frac{1}{3} + B$ .

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Étape 4.3.1.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{3} + B = - 1$ .

$- \frac{1}{3} + B = - 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Étape 4.3.1.3.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1.3.4.2.1

Ajoutez $\frac{1}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$B = - 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Étape 4.3.1.3.4.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$B = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Étape 4.3.1.3.4.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Étape 4.3.1.3.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$B = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Étape 4.3.1.3.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.3.4.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$B = \frac{- 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Étape 4.3.1.3.4.2.5.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Étape 4.3.1.3.4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Étape 4.3.1.3.5

Résolvez le système d’équations.

$B = - \frac{2}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

Étape 4.3.1.3.6

Indiquez toutes les solutions.

$B = - \frac{2}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

Étape 4.3.1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2}{3 t} + 0}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.5

Simplifiez

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Étape 4.3.1.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{(- \frac{2}{3}) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.5.2.1

Associez $t$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{t \cdot 2}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.5.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 \cdot t}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.5.2.3

Additionnez $- \frac{2 t}{3}$ et $0$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 t}{3}}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3} \cdot \frac{1}{t^{2} - 3}$

Étape 4.3.1.5.4

Multipliez $\frac{1}{t^{2} - 3}$ par $\frac{2 t}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{(t^{2} - 3) \cdot 3}$

Étape 4.3.1.5.5

Déplacez $3$ à gauche de $t^{2} - 3$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Étape 4.3.1.5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Étape 4.3.1.5.7

Multipliez $\frac{1}{t}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{t \cdot 3} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Étape 4.3.1.5.8

Déplacez $3$ à gauche de $t$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Étape 4.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Étape 4.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Étape 4.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \int \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Étape 4.3.7

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - (\frac{2}{3} \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Étape 4.3.8

Laissez $u = t^{2} - 3$ . Alors $d u = 2 t d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.8.1

Laissez $u = t^{2} - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 4.3.8.1.1

Différenciez $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Étape 4.3.8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 4.3.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Étape 4.3.8.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 t + 0$

Étape 4.3.8.1.5

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$2 t$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4.3.9

Simplifiez

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Étape 4.3.9.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.3.9.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 4.3.10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.11

Simplifiez

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Étape 4.3.11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.11.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.11.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 4.3.11.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.11.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.11.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{3})$

Étape 4.3.13

Simplifiez

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{4}$

Étape 4.3.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} - 3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| x |) = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Associez $\ln (| t |)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Étape 5.1.1.2

Associez $\ln (| t^{2} - 3 |)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ par $3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ par $3$ .

$\ln (| x |) \cdot 3 = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| t |)}{3}$ dans le numérateur.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Étape 5.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Étape 5.2.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3}$ dans le numérateur.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

Étape 5.2.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $C$ .

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Étape 5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Simplifiez $3 \ln (| x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln ({| x |}^{3}) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Étape 5.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln ({| x |}^{3}) + \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Étape 5.5

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Étape 5.6

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t | | t^{2} - 3 |) = 3 C$

Étape 5.7

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln ({| x |}^{3} | (t^{2} - 3) t |) = 3 C$

Étape 5.8

Appliquez la propriété distributive.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Étape 5.9

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.9.1

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 5.9.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Étape 5.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2 + 1} - 3 t |) = 3 C$

Étape 5.9.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$

Étape 5.10

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |)} = e^{3 C}$

Étape 5.11

Réécrivez $\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = {| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |$

Étape 5.12

Résolvez $x$ .

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Étape 5.12.1

Réécrivez l’équation comme ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ .

${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$

Étape 5.12.2

Divisez chaque terme dans ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ par $| t^{3} - 3 t |$ et simplifiez.

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Étape 5.12.2.1

Divisez chaque terme dans ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ par $| t^{3} - 3 t |$ .

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Étape 5.12.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.12.2.2.1

Annulez le facteur commun de $| t^{3} - 3 t |$ .

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Étape 5.12.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Étape 5.12.2.2.1.2

Divisez ${| x |}^{3}$ par $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Étape 5.12.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.12.2.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.12.2.3.1.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{3} - 3 t$ .

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Étape 5.12.2.3.1.1.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{3}$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Étape 5.12.2.3.1.1.2

Factorisez $t$ à partir de $- 3 t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Étape 5.12.2.3.1.1.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Étape 5.12.2.3.1.3

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.12.2.3.1.3.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 5.12.2.3.1.3.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Étape 5.12.2.3.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}$

Étape 5.12.2.3.1.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} + t \cdot - 3 |}$

Étape 5.12.2.3.1.4

Déplacez $- 3$ à gauche de $t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 \cdot t |}$

Étape 5.12.2.3.1.5

Factorisez $t$ à partir de $t^{3} - 3 t$ .

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Étape 5.12.2.3.1.5.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{3}$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Étape 5.12.2.3.1.5.2

Factorisez $t$ à partir de $- 3 t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Étape 5.12.2.3.1.5.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$| x | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$

Étape 5.12.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ .

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Étape 5.12.4.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ .

$| x | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Étape 5.12.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.12.4.2.1

Réécrivez $e^{3 C}$ comme ${(e^{C})}^{3}$ .

$| x | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Étape 5.12.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Étape 5.12.4.3

Multipliez $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Étape 5.12.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.12.4.4.1

Multipliez $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Étape 5.12.4.4.2

Élevez $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ à la puissance $1$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Étape 5.12.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1 + 2}}$

Étape 5.12.4.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}}$

Étape 5.12.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}$ comme $| t (t^{2} - 3) |$ .

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Étape 5.12.4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ comme ${| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{({| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.12.4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.12.4.4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.12.4.4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.12.4.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.12.4.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{1}}$

Étape 5.12.4.4.5.5

Simplifiez

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.5

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.12.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.12.6.2.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 5.12.6.2.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} - 3 \cdot t |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.4

Retirez la valeur absolue dans ${| t^{3} - 3 t |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{(t^{3} - 3 t)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.5

Réécrivez ${(t^{3} - 3 t)}^{2}$ comme $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.6

Développez $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.12.6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} (t^{3} - 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.12.6.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.12.6.7.1.1

Multipliez $t^{3}$ par $t^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.12.6.7.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3 + 3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.1.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{3} t - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.3

Multipliez $t^{3}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.12.6.7.1.3.1

Déplacez $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t \cdot t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.3.2

Multipliez $t$ par $t^{3}$ .

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Étape 5.12.6.7.1.3.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t^{1} t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{1 + 3} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.4

Multipliez $t$ par $t^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.12.6.7.1.4.1

Déplacez $t^{3}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.4.2

Multipliez $t^{3}$ par $t$ .

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Étape 5.12.6.7.1.4.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t^{1}) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{3 + 1} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t \cdot t}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.6

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.12.6.7.1.6.1

Déplacez $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 (t \cdot t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.6.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.1.7

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.7.2

Soustrayez $3 t^{4}$ de $- 3 t^{4}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.8

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}$ .

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Étape 5.12.6.8.1

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{6}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.8.2

Factorisez $t^{2}$ à partir de $- 6 t^{4}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.8.3

Factorisez $t^{2}$ à partir de $9 t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.8.4

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2})$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.8.5

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.9

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} ({(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.10

Laissez $u = t^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $t^{2}$ par $u$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.11

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.12.6.11.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.11.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Étape 5.12.6.11.3

Réécrivez le polynôme.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.11.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(u - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 5.12.6.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$x = \pm \frac{C \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$