Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} d y + (e^{x} + 1) d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $(e^{x} + 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$e^{x} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 d y = - \frac{1}{e^{x}} (e^{x} + 1) d x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 d y = (- \frac{1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{e^{x}}$ dans le numérateur.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Étape 4.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Étape 4.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Étape 4.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.4.1

Inversez l’exposant de $e^{x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez

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Étape 4.3.4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.4.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Étape 4.3.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- x} d x$

Étape 4.3.4.2.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int e^{- x} d x$

Étape 4.3.5

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.5.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.5.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.3.5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.3.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int - e^{u} d u$

Étape 4.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - - \int e^{u} d u$

Étape 4.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + 1 \int e^{u} d u$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int e^{u} d u$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + e^{u} + C_{3}$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$y + C_{1} = - x + e^{u} + C_{4}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$y + C_{1} = - x + e^{- x} + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - x + e^{- x} + K$