Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ , $y (0) = 6$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ par $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Étape 1.3.2.4

Divisez $2 y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 e^{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 (1)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{3 e^{- x}}{1}$

Étape 1.4.2.4

Divisez $3 e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 3 e^{- x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (3 e^{- x})$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (3 e^{- x})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{2 x} e^{- x}$

Étape 3.4

Multipliez $e^{2 x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 (e^{- x} e^{2 x})$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{- x + 2 x}$

Étape 3.4.3

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$

Étape 3.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 3 e^{x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 3 e^{x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 3 e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 x} y = \int 3 e^{x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = 3 \int e^{x} d x$

Étape 7.2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = 3 (e^{x} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez

$e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ par $e^{2 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ par $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $3 e^{x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3 e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.1.2.4

Divisez $3 e^{- x}$ par $1$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $6$ dans $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ .

$6 = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$ .

$3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Étape 10.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Étape 10.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$3 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

Étape 10.2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$3 + \frac{C}{1} = 6$

Étape 10.2.4

Divisez $C$ par $1$ .

$3 + C = 6$

Étape 10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$C = 6 - 3$

Étape 10.3.2

Soustrayez $3$ de $6$ .

$C = 3$

Étape 11

Remplacez $C$ par $3$ dans $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $3$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{3}{e^{2 x}}$