Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = {(15 x^{2} - 6)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Développez ${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ comme $(15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6)$ .

$y + C_{1} = \int (15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6) d x$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2} - 6) - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

Étape 2.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Étape 2.3.1.5

Déplacez $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Étape 2.3.1.7

Multipliez $15$ par $15$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Étape 2.3.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int 225 x^{2 + 2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Étape 2.3.1.9

Additionnez $2$ et $2$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Étape 2.3.1.10

Multipliez $15$ par $- 6$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Étape 2.3.1.11

Multipliez $- 6$ par $15$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Étape 2.3.1.12

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} + 36 d x$

Étape 2.3.1.13

Soustrayez $90 x^{2}$ de $- 90 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 180 x^{2} + 36 d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Étape 2.3.3

Comme $225$ est constant par rapport à $x$ , placez $225$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 225 \int x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Étape 2.3.5

Comme $- 180$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 180$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 \int x^{2} d x + \int 36 d x$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 36 d x$

Étape 2.3.7

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Étape 2.3.8.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

$y + C_{1} = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + K$