Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 x d x}$

Étape 1.2

Intégrez $2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int x d x}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1 x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x^{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x e^{x^{2}}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x e^{x^{2}} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{x^{2}} y = \int x e^{x^{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Différenciez $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 6.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 6.1.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Étape 6.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ par $e^{x^{2}}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ par $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 1$

Étape 9.2.2

Divisez $C$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 1$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$C = 1 - \frac{1}{2}$

Étape 9.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$C = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 9.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{2 - 1}{2}$

Étape 9.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$C = \frac{1}{2}$

Étape 10

Remplacez $C$ par $\frac{1}{2}$ dans $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Remplacez $C$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{e^{x^{2}}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{x^{2}}}$

Étape 10.2.2

Associez.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 10.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{x^{2}}}$