Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 6 e^{5 x}$ ; with $y (0) = 5$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 3$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 3 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{3 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{3 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (6 e^{5 x})$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (6 e^{5 x})$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} e^{5 x}$

Étape 2.4

Multipliez $e^{3 x}$ par $e^{5 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $e^{5 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 (e^{5 x} e^{3 x})$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{5 x + 3 x}$

Étape 2.4.3

Additionnez $5 x$ et $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{8 x}$

Étape 2.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{8 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 6 e^{8 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 6 e^{8 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 6 e^{8 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{3 x} y = \int 6 e^{8 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} y = 6 \int e^{8 x} d x$

Étape 6.2

Laissez $u = 8 x$ . Alors $d u = 8 d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = 8 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 6.2.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{3 x} y = 6 \int e^{u} \frac{1}{8} d u$

Étape 6.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$e^{3 x} y = 6 \int \frac{e^{u}}{8} d u$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{8} \int e^{u} d u)$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $6$ .

$e^{3 x} y = \frac{6}{8} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $8$ .

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 (3)}{8} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{3 x} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} \int e^{u} d u$

Étape 6.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} (e^{u} + C)$

Étape 6.7

Simplifiez

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{u} + C$

Étape 6.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$ par $e^{3 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$ par $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $e^{8 x}$ et $e^{3 x}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $e^{3 x}$ à partir de $\frac{3}{4} e^{8 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{3}{4} e^{5 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{3}{4} e^{5 x}$ par $1$ .

$y = \frac{3}{4} e^{5 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.2

Associez $\frac{3}{4}$ et $e^{5 x}$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $5$ dans $y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$ .

$5 = \frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$ .

$\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Étape 9.2

Simplifiez $\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$ .

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Étape 9.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Étape 9.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Étape 9.2.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Étape 9.2.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{e^{0}} = 5$

Étape 9.2.2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{1} = 5$

Étape 9.2.2.4

Divisez $C$ par $1$ .

$\frac{3}{4} + C = 5$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.3.1

Soustrayez $\frac{3}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$C = 5 - \frac{3}{4}$

Étape 9.3.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$C = 5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 9.3.3

Associez $5$ et $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 9.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{5 \cdot 4 - 3}{4}$

Étape 9.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.5.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$C = \frac{20 - 3}{4}$

Étape 9.3.5.2

Soustrayez $3$ de $20$ .

$C = \frac{17}{4}$

Étape 10

Remplacez $C$ par $\frac{17}{4}$ dans $y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $\frac{17}{4}$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{\frac{17}{4}}{e^{3 x}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17}{4} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

Étape 10.2.2

Associez.

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17 \cdot 1}{4 e^{3 x}}$

Étape 10.2.3

Multipliez $17$ par $1$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17}{4 e^{3 x}}$