Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \cos (3 x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (4 x + \cos (3 x)) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 4 x + \cos (3 x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x + \cos (3 x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.3.4

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.3.4.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.3.4.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.5.2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{1}{3} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{1}{3} (\sin (u) + C_{3})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$y + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} \sin (u) + C_{4}$

Étape 2.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$