Calcul infinitésimal Exemples

$e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$ par $e^{y}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1.1

Divisez chaque terme dans $e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$ par $e^{y}$ .

$\frac{e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1)}{e^{y}} = \frac{1}{e^{y}}$

Étape 1.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 1.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1)}{e^{y}} = \frac{1}{e^{y}}$

Étape 1.1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x} + 1$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 1 = \frac{1}{e^{y}}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} - 1$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} (\frac{1}{e^{y}} - 1)$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $\frac{1}{e^{y}} - 1$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} (\frac{1}{e^{y}} - 1)$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1.1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{y}}{e^{y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1 \cdot \frac{e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.2

Associez $- 1$ et $\frac{e^{y}}{e^{y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\int 1 \frac{e^{y}}{1 - e^{y}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\frac{e^{y}}{1 - e^{y}}$ par $1$ .

$\int \frac{e^{y}}{1 - e^{y}} d y = \int d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = 1 - e^{y}$ . Alors $d u = - e^{y} d y$ , donc $- \frac{1}{e^{y}} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = 1 - e^{y}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $1 - e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - e^{y}]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$

Étape 2.2.2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$

Étape 2.2.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- e^{y}]$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- e^{y}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 2.2.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 - e^{y}$

Étape 2.2.2.1.4

Soustrayez $e^{y}$ de $0$ .

$- e^{y}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.3

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - e^{y}$ .

$- \ln (| 1 - e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \ln (| 1 - e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 1 - e^{y} |) = x + C$