Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = e^{2 t} - 2 y$ , $y (1) = 2$

Étape 1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d t} + 2 y = e^{2 t}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 2$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 d t}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 t + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 t}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 t}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} e^{2 t}$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} e^{2 t}$

Étape 3.3

Multipliez $e^{2 t}$ par $e^{2 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t + 2 t}$

Étape 3.3.2

Additionnez $2 t$ et $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{4 t}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{4 t}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{4 t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 t} y = \int e^{4 t} d t$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Laissez $u = 4 t$ . Alors $d u = 4 d t$ , donc $\frac{1}{4} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1.1

Laissez $u = 4 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 7.1.1.1

Différenciez $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Étape 7.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 7.1.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 7.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Étape 7.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 7.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Étape 7.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Étape 7.5

Simplifiez

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 7.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ par $e^{2 t}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ par $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 t}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun à $e^{4 t}$ et $e^{2 t}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $e^{2 t}$ à partir de $\frac{1}{4} e^{4 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 8.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 8.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{2 t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 8.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{1}{4} e^{2 t}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 8.3.1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{2 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $1$ et $y$ par $2$ dans $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$2 = \frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$ .

$\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Étape 10.2

Simplifiez $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$ .

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Étape 10.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Étape 10.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2}} = 2$

Étape 10.3

Soustrayez $\frac{e^{2}}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{C}{e^{2}} = 2 - \frac{e^{2}}{4}$

Étape 10.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $e^{2}$ .

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Étape 10.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 10.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.5.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{2}$ .

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Étape 10.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Étape 10.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$C = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Étape 10.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.5.2.1

Simplifiez $e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$ .

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Étape 10.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$C = e^{2} \cdot 2 + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Étape 10.5.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Étape 10.5.2.1.3

Multipliez $e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$ .

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Étape 10.5.2.1.3.1

Associez $e^{2}$ et $\frac{e^{2}}{4}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2} e^{2}}{4}$

Étape 10.5.2.1.3.2

Multipliez $e^{2}$ par $e^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.5.2.1.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2 + 2}}{4}$

Étape 10.5.2.1.3.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

$C = 2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

Étape 11

Remplacez $C$ par $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ dans $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Étape 11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1.1

Pour écrire $2 e^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Étape 11.2.1.2

Associez $2 e^{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Étape 11.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4 - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Étape 11.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Étape 11.2.3

Multipliez $\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}$ par $\frac{1}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Étape 11.3

Pour écrire $\frac{e^{2 t}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} \cdot \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Étape 11.4

Multipliez $\frac{e^{2 t}}{4}$ par $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Étape 11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Étape 11.6

Multipliez $e^{2 t}$ par $e^{2 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{e^{2 t + 2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Étape 11.6.2

Additionnez $2 t$ et $2 t$ .

$y = \frac{e^{4 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$