Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} y - y) d x - x d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{2} y - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y - y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x^{2} - 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$x^{2} - 1 = - 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x^{2} - 1 = - 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x^{2} - 1$ .

$\frac{x^{2} - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 1 + 1}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $- x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $- x$ .

$\frac{x^{2} - 1 + 1}{- x}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 0}{- x}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2}}{- x}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{- x}$

Étape 4.3.3.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot x$

Étape 4.3.4

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$- x$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - x d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - x d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int x d x}$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 5.3

Réécrivez $e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ comme $e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C$

Étape 5.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{2} y - y) d x - x d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $x^{2} y - y$ par $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$(x^{2} y - y) e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x - x d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}) d x - x d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $- x$ par $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$(x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}) d x - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$

Étape 8.2

Réécrivez $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$ comme $- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$ .

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.2

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- y (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.5

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- 2 (\frac{1}{2}) x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.9

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{- 2}{2} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.10

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $x$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{- 2 x}{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.11

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2 (1)}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{- x}{1}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.11.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- y (x^{1} x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- y (x^{1} x^{1} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- y (x^{1 + 1} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$- y (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.16

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- y (x^{2} (- 1 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.17

Réécrivez $- 1 e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ comme $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.3.18

Multipliez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ par $1$ .

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}})) - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{2}})) - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.5.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} y - e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 11.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} y - e^{- \frac{x^{2}}{2}} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Soustrayez $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 12.1.2

Ajoutez $y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.1

Soustrayez $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ de $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + 0 + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $- y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 12.1.3.3

Additionnez $- y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ et $y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$

Étape 15.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$ .

$f (x, y) = - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C$