Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 1) d y + (2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 y + 1 - 2 \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y + 1 - 2 \cos (x)]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + 1 - 2 \cos (x)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Étape 2.4.2

Comme $- 2 \cos (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + 0$

Étape 2.5

Associez des termes.

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Étape 2.5.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x + 1$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$2 = 1$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 = 1$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x + 1$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x + 1$ .

$\frac{2 - 1}{x + 1}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{x + 1}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 6.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Étape 6.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Étape 6.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Étape 6.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | u | + C$

Étape 6.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$ par le facteur d’intégration $x + 1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $2 y + 1 - 2 \cos (x)$ par $x + 1$ .

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Étape 7.2

Développez $(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(2 y x + 2 y \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Étape 7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$(2 y x + 2 y + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Étape 7.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Étape 7.3.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Étape 7.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

Étape 7.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $x + 1$ par $x + 1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) (x + 1) d y = 0$

Étape 7.6

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x (x + 1) + 1 (x + 1)) d y = 0$

Étape 7.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) d y = 0$

Étape 7.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Étape 7.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Étape 7.7.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Étape 7.7.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Étape 7.7.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1) d y = 0$

Étape 7.7.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + 2 x + 1) d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 2 x + 1 d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = x^{2} + 2 x + 1$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $(x^{2} + 2 x + 1) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (2 x + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$y (2 x + 2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.3.8

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$y (2 x + 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (2 x + 2) + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (2 x) + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.5.2

Associez des termes.

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Étape 12.5.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 \cdot y x + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.5.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 y x + 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 12.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.1.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y$

Étape 13.1.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

Étape 13.1.3

Associez les termes opposés dans $2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$ .

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Étape 13.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 y x$ et $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

Étape 13.1.3.2

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0 - 2 y$

Étape 13.1.3.3

Additionnez $2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 y$

Étape 13.1.3.4

Soustrayez $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0$

Étape 13.1.3.5

Additionnez $x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Étape 14

Déterminez la primitive de $x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

Étape 14.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Étape 14.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Étape 14.5

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Étape 14.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Étape 14.7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x) + \int - 2 \cos (x) d x$

Étape 14.8

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) + \int - 2 \cos (x) d x$

Étape 14.9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 \int \cos (x) d x$

Étape 14.10

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 (\sin (x) + C)$

Étape 14.11

Simplifiez

$g (x) = \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Étape 14.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Étape 16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + 1 y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Étape 16.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Étape 16.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$