Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{2}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{2}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \ln (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x \ln (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x \ln (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int x \ln (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x$ .

$x^{2} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{2} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Étape 7.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Étape 7.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Étape 7.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Étape 7.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Étape 7.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Étape 7.4.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Étape 7.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 7.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.6.1

Réécrivez $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 7.6.2

Simplifiez

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Étape 7.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (x)$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 7.6.2.2

Associez $\frac{\ln (x)}{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 7.6.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Étape 7.6.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 7.6.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Étape 7.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

Étape 8.1.2

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.3.1.1.2

Divisez $\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x)) + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.3.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} (\ln (x))$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{4}$ dans le numérateur.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.3.1.4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 1}{4} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{4} + \frac{C}{x^{2}}$