Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{y}$ , $y (0) = - 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = x \sin (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int x \sin (x) d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\int \cos (x) d x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

Étape 2.3.5

Réécrivez $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ comme $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} = - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Étape 3.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K}$

Étape 3.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Étape 4

Comme $y$ est négatif dans la condition initiale $(0, - 1)$ , ne tenez compte que de $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $- 1$ .

$- 1 = - \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$

Étape 5

Résolvez $K$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$ .

$- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$

Étape 5.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$ comme ${(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez ${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

${(- {(2 (0 \cdot 1 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

${(- {(2 (0 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

${(- {(2 (0 + 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + K$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Additionnez $0$ et $0$ .

${(- {(2 (0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Additionnez $0$ et $K$ .

${(- {(2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 K$ .

${(- (2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $- 2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $- 2^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.5

Multipliez ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.7

Évaluez l’exposant.

$2 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.8

Multipliez les exposants dans ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 K^{1} = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.9

Simplifiez

$2 K = {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 K = 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $2 K = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 K = 1$ par $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{1}{2}$

Étape 6

Remplacez $K$ par $\frac{1}{2}$ dans $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Remplacez $K$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + \frac{1}{2})}$