Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y + \sin (x)$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - y = \sin (x)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \sin (x)$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{- x} \sin (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{- x} \sin (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x} y = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Remettez dans l’ordre $e^{- x}$ et $\sin (x)$ .

$e^{- x} y = \int \sin (x) e^{- x} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (x)$ et $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} \cos (x) d x$

Étape 7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - - \int e^{- x} \cos (x) d x$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} \cos (x) d x$

Étape 7.4.2

Multipliez $\int e^{- x} \cos (x) d x$ par $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int e^{- x} \cos (x) d x$

Étape 7.4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- x}$ et $\cos (x)$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int \cos (x) e^{- x} d x$

Étape 7.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (x)$ et $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- \sin (x)) d x$

Étape 7.6

Comme $- - 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- - 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (- - 1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Étape 7.7

Multipliez.

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Étape 7.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Étape 7.7.2

Multipliez $\int e^{- x} (\sin (x)) d x$ par $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int e^{- x} (\sin (x)) d x$

Étape 7.8

En résolvant $\int e^{- x} \sin (x) d x$ , nous trouvons que $\int e^{- x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$

Étape 7.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.9.1

Réécrivez $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$ comme $\frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$ .

$e^{- x} y = \frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Étape 7.9.2

Simplifiez

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Étape 7.9.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.9.2.1.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}$ .

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Étape 7.9.2.1.1.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- \sin (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Étape 7.9.2.1.1.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- \cos (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))}{2} + C$

Étape 7.9.2.1.1.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

Étape 7.9.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x) - \cos (x)$ .

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Étape 7.9.2.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{2} + C$

Étape 7.9.2.1.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{2} + C$

Étape 7.9.2.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{2} + C$

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Étape 7.9.2.1.3

Factorisez le signe négatif.

$e^{- x} y = \frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Étape 7.9.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $e^{- x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ par $e^{- x}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ par $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.1.1

Factorisez $\frac{e^{- x}}{2}$ à partir de $\frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.1.2

Associez.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\sin (x) + \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$