Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d p}{d t} - \frac{1}{t} p = t^{2} + 3 t - 2$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = - \frac{1}{t}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{1}{t} d t}$

Étape 1.2

Intégrez $- \frac{1}{t}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{t} d t}$

Étape 1.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$e^{- (\ln (| t |) + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez

$e^{- \ln (| t |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (t)}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (t^{- 1})}$

Étape 1.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$t^{- 1}$

Étape 1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{t}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{t} \frac{d p}{d t} + \frac{1}{t} (- \frac{1}{t} p) = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{t}$ et $\frac{d p}{d t}$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} + \frac{1}{t} (- \frac{1}{t} p) = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{1}{t} (\frac{1}{t} p) = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{t}$ et $p$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{1}{t} \cdot \frac{p}{t} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.2.4

Multipliez $- \frac{1}{t} \cdot \frac{p}{t}$ .

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $\frac{p}{t}$ par $\frac{1}{t}$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t \cdot t} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.2.4.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{1} t} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.2.4.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{1} t^{1}} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{1 + 1}} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = \frac{1}{t} t^{2} + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = \frac{1}{t} (t \cdot t) + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = \frac{1}{t} (t \cdot t) + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + \frac{1}{t} (3 t) + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + 3 \frac{1}{t} t + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.3.3

Associez $3$ et $\frac{1}{t}$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + \frac{3}{t} t + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + \frac{3}{t} t + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + 3 + \frac{1}{t} \cdot - 2$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{1}{t}$ et $- 2$ .

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + 3 + \frac{- 2}{t}$

Étape 2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d p}{d t}}{t} - \frac{p}{t^{2}} = t + 3 - \frac{2}{t}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} p] = t + 3 - \frac{2}{t}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t} p] d t = \int t + 3 - \frac{2}{t} d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{t} p = \int t + 3 - \frac{2}{t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{t} p = \int t d t + \int 3 d t + \int - \frac{2}{t} d t$

Étape 6.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + \int 3 d t + \int - \frac{2}{t} d t$

Étape 6.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + 3 t + C + \int - \frac{2}{t} d t$

Étape 6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + 3 t + C - \int \frac{2}{t} d t$

Étape 6.5

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + 3 t + C - (2 \int \frac{1}{t} d t)$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + 3 t + C - 2 \int \frac{1}{t} d t$

Étape 6.7

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + C + 3 t + C - 2 (\ln (| t |) + C)$

Étape 6.8

Simplifiez

$\frac{1}{t} p = \frac{1}{2} t^{2} + 3 t - 2 \ln (| t |) + C$

Étape 7

Résolvez $p$ .

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{t}$ et $p$ .

$\frac{p}{t} = \frac{1}{2} t^{2} + 3 t - 2 \ln (| t |) + C$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{p}{t} = \frac{t^{2}}{2} + 3 t - 2 \ln (| t |) + C$

Étape 7.2.2

Simplifiez $- 2 \ln (| t |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{p}{t} = \frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln ({| t |}^{2}) + C$

Étape 7.2.3

Retirez la valeur absolue dans ${| t |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{p}{t} = \frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln (t^{2}) + C$

Étape 7.3

Multipliez les deux côtés par $t$ .

$\frac{p}{t} t = (\frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln (t^{2}) + C) t$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.1.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 7.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p}{t} t = (\frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln (t^{2}) + C) t$

Étape 7.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$p = (\frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln (t^{2}) + C) t$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.1

Simplifiez $(\frac{t^{2}}{2} + 3 t - \ln (t^{2}) + C) t$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p = \frac{t^{2}}{2} t + 3 t \cdot t - \ln (t^{2}) t + C t$

Étape 7.4.2.1.2

Simplifiez

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Étape 7.4.2.1.2.1

Multipliez $\frac{t^{2}}{2} t$ .

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Étape 7.4.2.1.2.1.1

Associez $\frac{t^{2}}{2}$ et $t$ .

$p = \frac{t^{2} t}{2} + 3 t \cdot t - \ln (t^{2}) t + C t$

Étape 7.4.2.1.2.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.2.1.2.1.2.1

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 7.4.2.1.2.1.2.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$p = \frac{t^{2} t^{1}}{2} + 3 t \cdot t - \ln (t^{2}) t + C t$

Étape 7.4.2.1.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p = \frac{t^{2 + 1}}{2} + 3 t \cdot t - \ln (t^{2}) t + C t$

Étape 7.4.2.1.2.1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$p = \frac{t^{3}}{2} + 3 t \cdot t - \ln (t^{2}) t + C t$

Étape 7.4.2.1.2.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.2.1.2.2.1

Déplacez $t$ .

$p = \frac{t^{3}}{2} + 3 (t \cdot t) - \ln (t^{2}) t + C t$

Étape 7.4.2.1.2.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$p = \frac{t^{3}}{2} + 3 t^{2} - \ln (t^{2}) t + C t$

Étape 7.4.2.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{t^{3}}{2} + 3 t^{2} - \ln (t^{2}) t + C t$ .

$p = \frac{t^{3}}{2} + 3 t^{2} - t \ln (t^{2}) + C t$

Étape 7.4.2.1.4

Déplacez $- t \ln (t^{2})$ .

$p = \frac{t^{3}}{2} + 3 t^{2} + C t - t \ln (t^{2})$