Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y - y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} + x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x - 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 1$ .

$2 x - 1 = 2 x + 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x - 1 = 2 x + 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x - 1$ .

$\frac{2 x - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 1$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x^{2} + x$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x^{2} + x$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{x^{2} + x}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1}{x^{2} + x}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{x^{2} + x}$

Étape 4.3.2.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{x^{2} + x}$

Étape 4.3.2.6

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{x^{2} + x}$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x}$

Étape 4.3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x^{1}}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Étape 4.3.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{- 2}{x (x + 1)}$

Étape 4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x (x + 1)}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x}$

Étape 5.4

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 5.4.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 5.4.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Étape 5.4.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Étape 5.4.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Étape 5.4.1.4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Étape 5.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Étape 5.4.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Étape 5.4.1.5.1.2

Divisez $A (x + 1)$ par $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Étape 5.4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Étape 5.4.1.5.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Étape 5.4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Étape 5.4.1.5.4.2

Divisez $(B) (x)$ par $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Étape 5.4.1.6

Déplacez $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Étape 5.4.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 5.4.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 5.4.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A$

Étape 5.4.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Étape 5.4.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 5.4.3.1

Réécrivez l’équation comme $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Étape 5.4.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1$ dans chaque équation.

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Étape 5.4.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A + B$ par $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Étape 5.4.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Étape 5.4.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = 1 + B$ .

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Étape 5.4.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Étape 5.4.3.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Étape 5.4.3.4

Résolvez le système d’équations.

$B = - 1 A = 1$

Étape 5.4.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = - 1, A = 1$

Étape 5.4.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Étape 5.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x}$

Étape 5.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Étape 5.6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Étape 5.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Étape 5.8

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.8.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.8.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 5.8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.8.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u)}$

Étape 5.9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C))}$

Étape 5.10

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| u |})} + C$

Étape 5.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})} + C$

Étape 5.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.12.1

Simplifiez $- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2})} + C$

Étape 5.12.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2} + C$

Étape 5.12.3

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$μ (x, y) = {(\frac{| x + 1 |}{| x |})}^{2} + C$

Étape 5.12.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

$μ (x, y) = \frac{{| x + 1 |}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.12.5.1

Retirez la valeur absolue dans ${| x + 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.2

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$μ (x, y) = \frac{(x + 1) (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.3

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.12.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$μ (x, y) = \frac{x (x + 1) + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.12.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.12.5.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.4.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.4.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.12.5.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 5.12.5.5.3

Réécrivez le polynôme.

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.5.5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Étape 5.12.6

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 x y - y$ par $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$(2 x y - y) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $2 x y - y$ par $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(2 x y - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $y$ à partir de $2 x y - y$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{(y (2 x) - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{(y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (2 x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x^{2} + x$ par $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x^{2} + x$ par $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x^{2} + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 6.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.6.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x^{1}) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.6.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.6.2

Multipliez $x + 1$ par ${(x + 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.2.1

Déplacez ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.6.2.2

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $x + 1$ .

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Étape 6.6.2.2.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1})}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{2 + 1}}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.6.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x {(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} y + C$

Étape 8.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ et $y$ .

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$

Étape 8.2.2

Réécrivez $\frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$ comme $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Étape 8.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) y}{x} + C$

Étape 8.2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) y}{x} + C$

Étape 8.2.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ et $g (x) = x$ .

$y \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.11

Multipliez $2$ par $3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.12

Multipliez $3$ par $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.13

Additionnez $3 x^{2} + 6 x + 3$ et $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.3.15

Associez $y$ et $\frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - x^{3} - (3 x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (x (3 x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4

Associez des termes.

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Étape 11.5.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y (3 x^{1 + 2}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{y (3 x^{3}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.4

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$\frac{3 \cdot y x^{3} + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x^{1})) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{1 + 1}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{2}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.9

Déplacez $6$ à gauche de $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 \cdot y x^{2} + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.10

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + y (3 \cdot x) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.11

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 \cdot y x + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.13

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.15

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - 1 \cdot y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.16

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.17

Déplacez $y$ .

$\frac{3 x^{3} y - x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.18

Soustrayez $x^{3} y$ de $3 x^{3} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.19

Déplacez $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 x^{2} y - 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.20

Soustrayez $3 x^{2} y$ de $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.21

Déplacez $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y - 3 x y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.22

Soustrayez $3 x y$ de $3 x y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 0 - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.4.23

Additionnez $2 x^{3} y + 3 x^{2} y$ et $0$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.6

Factorisez $y$ à partir de $2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y$ .

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Étape 11.5.6.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.6.2

Factorisez $y$ à partir de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.6.3

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.6.4

Factorisez $y$ à partir de $y (2 x^{3}) + y (3 x^{2})$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.6.5

Factorisez $y$ à partir de $y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.7

Pour écrire $\frac{d g}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.9.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.9.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.9.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.9.2.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - 1 \cdot y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.9.3

Simplifiez chaque terme.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 11.5.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Étape 12.1.2

Simplifiez $y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 12.1.2.1

Réécrivez.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Étape 12.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Étape 12.1.2.2.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 12.1.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Étape 12.1.2.2.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 12.1.2.2.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Étape 12.1.2.2.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - 1 \cdot y) {(x + 1)}^{2}$

Étape 12.1.2.2.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) {(x + 1)}^{2}$

Étape 12.1.2.2.4

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) ((x + 1) (x + 1))$

Étape 12.1.2.3

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Étape 12.1.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Étape 12.1.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 12.1.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 12.1.2.4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 12.1.2.4.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Étape 12.1.2.4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1)$

Étape 12.1.2.4.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 12.1.2.5

Développez $(2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$

Étape 12.1.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1.2.6.1

Associez les termes opposés dans $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$ .

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Étape 12.1.2.6.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 y x \cdot 1$ et $- y (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 1 \cdot 2 x y - y x^{2} - 1 \cdot 2 x y - y \cdot 1$

Étape 12.1.2.6.1.2

Soustrayez $2 x y$ de $1 \cdot 2 x y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} + 0 - y \cdot 1$

Étape 12.1.2.6.1.3

Additionnez $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Étape 12.1.2.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.6.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.2.6.2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Étape 12.1.2.6.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 12.1.2.6.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x^{1}) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Étape 12.1.2.6.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{2 + 1} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Étape 12.1.2.6.2.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Étape 12.1.2.6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.2.6.2.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y (x \cdot x) \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Étape 12.1.2.6.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x^{2} \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Étape 12.1.2.6.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y \cdot 1$

Étape 12.1.2.6.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y$

Étape 12.1.2.6.3

Soustrayez $y x^{2}$ de $4 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y$

Étape 12.1.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.3.1

Soustrayez $2 y x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3}$

Étape 12.1.3.2

Soustrayez $3 y x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d g}{d x} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2}$

Étape 12.1.3.3

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$

Étape 12.1.3.4

Associez les termes opposés dans $2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$ .

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Étape 12.1.3.4.1

Soustrayez $2 y x^{3}$ de $2 y x^{3}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y + 0 - 3 y x^{2} + y$

Étape 12.1.3.4.2

Additionnez $3 y x^{2} - y$ et $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y - 3 y x^{2} + y$

Étape 12.1.3.4.3

Soustrayez $3 y x^{2}$ de $3 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + 0 + y$

Étape 12.1.3.4.4

Additionnez $- y$ et $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + y$

Étape 12.1.3.4.5

Additionnez $- y$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$

Étape 12.1.4

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 12.1.4.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Étape 12.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 12.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Étape 12.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d g}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{2}}$

Étape 12.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.1.4.3.1

Divisez $0$ par $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Étape 15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x} + C$