Calcul infinitésimal Exemples

$(t^{2} + 1) \frac{d y}{d t} = 2 y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(t^{2} + 1) \frac{d y}{d t} = 2 y$ par $t^{2} + 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(t^{2} + 1) \frac{d y}{d t} = 2 y$ par $t^{2} + 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) \frac{d y}{d t}}{t^{2} + 1} = \frac{2 y}{t^{2} + 1}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $t^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(t^{2} + 1) \frac{d y}{d t}}{t^{2} + 1} = \frac{2 y}{t^{2} + 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 y}{t^{2} + 1}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{2} + 1}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{t^{2} + 1}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{t^{2} + 1}$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{t^{2} + 1}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $t^{2}$ et $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ par rapport à $t$ est $\arctan (t) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\arctan (t) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \arctan (t) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \arctan (t) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 \arctan (t) + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = 2 \arctan (t) + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 \arctan (t) + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{2 \arctan (t) + C}$ .

$| y | = e^{2 \arctan (t) + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 \arctan (t) + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{2 \arctan (t) + C}$ comme $e^{2 \arctan (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 \arctan (t)} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{2 \arctan (t)}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 \arctan (t)}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{2 \arctan (t)}$