Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \sqrt{x} + 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 1 + \sqrt{x}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 1 + \sqrt{x}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 1 + \sqrt{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 2}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Étape 3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{2 y}{x}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Étape 3.2.4.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\sqrt{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Étape 7.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{- 2} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Étape 7.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 7.4.2

Simplifiez

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Étape 7.4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 7.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Étape 7.4.2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Étape 7.4.2.3

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Étape 7.4.2.3.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Étape 7.4.2.3.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 7.4.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 7.4.2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.3.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Étape 7.4.2.3.5.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Étape 7.4.2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 7.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 7.6

Simplifiez

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{1}{x} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1.1

Ajoutez $\frac{1}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 8.1.2

Ajoutez $2 x^{- \frac{1}{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} = C$

Étape 8.1.3

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

Étape 8.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.4.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Étape 8.1.4.3

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.1

Soustrayez $\frac{1}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = - \frac{1}{x}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.3

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2

Simplifiez

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Étape 8.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$y = \frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = - 1 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 8.4.2.1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{2}$ .

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = - 1 x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.4

Déplacez $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = - x + C x^{2} - 2 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.4.2.1.5

Remettez dans l’ordre $- x$ et $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} - x - 2 x^{\frac{3}{2}}$