Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) + y \cot (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $y \cot (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - y \cot (x) = \csc (x)$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cot (x)) = \csc (x)$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 1 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cot (x) y = \csc (x)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1 \cot (x)$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 \cot (x) d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- 1 \cot (x)$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \cot (x) d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sin (x) |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{- \ln (| \sin (x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (\sin (x))}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (\sin^{- 1} (x))}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sin^{- 1} (x)$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sin (x)}$

Étape 2.7

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\csc (x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} + \csc (x) (- 1 \cot (x) y) = \csc (x) \csc (x)$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc (x) \csc (x)$

Étape 3.3

Multipliez $\csc (x) \csc (x)$ .

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Étape 3.3.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc (x)$

Étape 3.3.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc^{1} (x)$

Étape 3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = {\csc (x)}^{1 + 1}$

Étape 3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - y \csc (x) \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\csc (x) y] = \csc^{2} (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\csc (x) y] d x = \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\csc (x) y = \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 7

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$\csc (x) y = - \cot (x) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ par $\csc (x)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ par $\csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\csc (x)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Séparez les fractions.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{C}{\csc (x)}$

Étape 8.3.1.5

Écrivez $\sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Étape 8.3.1.6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Étape 8.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1}{1} \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Étape 8.3.1.7

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Étape 8.3.1.8

Séparez les fractions.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Étape 8.3.1.9

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 8.3.1.10

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \sin (x))$

Étape 8.3.1.11

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \sin (x)$

Étape 8.3.1.12

Divisez $C$ par $1$ .

$y = - \cos (x) + C \sin (x)$