Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 1) d x + y^{2} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(x + 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} d y = - (x + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int - (x + 1) d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - (x + 1) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- (x + 1)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x - 1 \cdot 1 d x$

Étape 2.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x - 1 d x$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{1}{2} x^{2} - x + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2} - x + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2}) + 3 (- x) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $3 (- \frac{x^{2}}{2})$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3 x^{2}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{2}}{2}) - 3 x + 3 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{2}}{2}) + 3 (- x) + 3 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{2}}{2}) + 3 (- x) + 3 K}$

Étape 3.4.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- \frac{x^{2}}{2}) + 3 (- x)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{2}}{2} - x) + 3 K}$

Étape 3.4.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- \frac{x^{2}}{2} - x) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{2}}{2} - x + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + K)}$

Étape 3.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $- x$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + K)}$

Étape 3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} - x \cdot 2}{2} + K)}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} - x \cdot 2$ .

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Étape 3.4.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (- x) - x \cdot 2}{2} + K)}$

Étape 3.4.4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (- x) + x (- 1 \cdot 2)}{2} + K)}$

Étape 3.4.4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x (- 1 \cdot 2)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (- x - 1 \cdot 2)}{2} + K)}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (- x - 2)}{2} + K)}$

Étape 3.4.5

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (- x - 2)}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Étape 3.4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.6.1

Associez $K$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (- x - 2)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Étape 3.4.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x (- x - 2) + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x (- x) + x \cdot - 2 + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- x \cdot x + x \cdot - 2 + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- x \cdot x - 2 \cdot x + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.7.4.1

Déplacez $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- (x \cdot x) - 2 \cdot x + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{2} - 2 \cdot x + K \cdot 2}{2}}$

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{2} - 2 x + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.5

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{2} - 2 x + 2 K}{2}}$

Étape 3.4.8

Associez $3$ et $\frac{- x^{2} - 2 x + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)}{2}}$

Étape 3.4.9

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 3.4.10

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.4.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.4.11.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.4.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.11.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 3.4.11.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.11.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.11.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.11.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.11.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.11.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.11.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.11.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Étape 3.4.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.12.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Étape 3.4.12.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Étape 3.4.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.13.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 2 x + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Étape 3.4.13.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (- x^{2} - 2 x + 2 K)}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (- x^{2} - 2 x + K)}}{2}$