Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} - y^{2}) d x + 3 x (y d) y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Étape 1.4

Soustrayez $2 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y]$

Étape 2.2

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 y$ .

$- 2 y = 3 y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 2 y = 3 y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 y$ .

$\frac{- 2 y - (3 y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $3 x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $3 x y$ .

$\frac{- 2 y - (3 y)}{3 x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y - 1 \cdot 3 y$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - 1 \cdot 3 y}{3 x y}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 1 \cdot 3 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y (- 2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{y (- 2 - 3)}{3 x y}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$\frac{y \cdot - 5}{3 x y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot - 5}{3 x y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5}{3 x}$

Étape 4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{3 x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{3 x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{5}{3 x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{3 x} d x}$

Étape 5.2

Comme $\frac{5}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{5}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{5}{3} \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.4

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \frac{5}{3} \ln (| x |)} + C$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Multipliez $- \frac{5}{3} \ln (| x |)$ .

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Étape 5.5.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| x |)$ et $\frac{5}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{5}{3} \ln (| x |))} + C$

Étape 5.5.1.2

Simplifiez $\frac{5}{3} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{5}{3}$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{5}{3}})} + C$

Étape 5.5.2

Simplifiez $- \ln ({| x |}^{\frac{5}{3}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1})} + C$

Étape 5.5.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1} + C$

Étape 5.5.4

Multipliez les exposants dans ${({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{5}{3} \cdot - 1} + C$

Étape 5.5.4.2

Multipliez $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 5.5.4.2.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} + C$

Étape 5.5.4.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 5}{3}} + C$

Étape 5.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{5}{3}} + C$

Étape 5.5.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{5}{3}}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{2} - y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x^{2} - y^{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x^{2} - y^{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Étape 6.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $3 x y$ par $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $3 x y \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

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Étape 6.5.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + x y \frac{3}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Étape 6.5.2

Associez $x$ et $\frac{3}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + y \frac{x \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Étape 6.5.3

Associez $y$ et $\frac{x \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y (x \cdot 3)}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

Étape 6.6

Placez $x^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}} x^{- 1}} d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $x^{\frac{5}{3}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} - 1}} d y = 0$

Étape 6.7.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}} d y = 0$

Étape 6.7.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}} d y = 0$

Étape 6.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}} d y = 0$

Étape 6.7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.7.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5 - 3}{3}}} d y = 0$

Étape 6.7.5.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{2}{3}}} d y = 0$

Étape 6.8

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \int y d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2 \cdot x^{\frac{2}{3}}} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $2$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.4

Associez $\frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $\frac{3 y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 11.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 11.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.5.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 11.3.5.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.9.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.11

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.12

Associez $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x^{- \frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.13.1

Déplacez $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.13.4

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.14

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.15

Multipliez $\frac{3 y^{2}}{2}$ par $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{3 y^{2} \cdot 2}{2 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.16

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{6 y^{2}}{2 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.17

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.18

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.3.19

Réécrivez l’expression.

$- \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Simplifiez $\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} - \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

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Étape 12.1.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + (- x - y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2

Développez $(- x - y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.1.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x (x - y) - y (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.2.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 1 x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.1.6

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.2.3.1.6.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.1.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.1.8

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.2

Soustrayez $y x$ de $x y$ .

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Étape 12.1.1.2.3.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - 1 x y + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.2.2

Soustrayez $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 0 + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3.3

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Associez les termes opposés dans $- y^{2} - x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 12.1.1.3.1

Additionnez $- y^{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.4.1

Placez $x^{\frac{5}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{5}{3}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{5}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.4.2.1

Déplacez $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{5}{3}} x^{2}) = 0$

Étape 12.1.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + 2} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 5 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1.4.2.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 5 + 6}{3}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.6.2

Additionnez $- 5$ et $6$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{1}{3}} = 0$

Étape 12.1.2

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{3}}$ présent dans chaque terme.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} - x^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.1.3

Remplacez $x^{\frac{1}{3}}$ par $u$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} - (u) = 0$

Étape 12.1.4

Résolvez $u$ .

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Étape 12.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 12.1.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - u = 0$

Étape 12.1.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.1.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - u = 0$

Étape 12.1.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} - u = 0$

Étape 12.1.4.1.2

Simplifiez

$\frac{d g}{d x} - u = 0$

Étape 12.1.4.2

Soustrayez $\frac{d g}{d x}$ des deux côtés de l’équation.

$- u = - \frac{d g}{d x}$

Étape 12.1.4.3

Divisez chaque terme dans $- u = - \frac{d g}{d x}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 12.1.4.3.1

Divisez chaque terme dans $- u = - \frac{d g}{d x}$ par $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

Étape 12.1.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{u}{1} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

Étape 12.1.4.3.2.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

Étape 12.1.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.1.4.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$u = \frac{\frac{d g}{d x}}{1}$

Étape 12.1.4.3.3.2

Divisez $\frac{d g}{d x}$ par $1$ .

$u = \frac{d g}{d x}$

Étape 12.1.5

Remplacez $u$ par $\frac{d g}{d x}$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{d g}{d x}$

Étape 12.1.6

Réécrivez $x^{\frac{1}{3}} = \frac{d g}{d x}$ de sorte que $\frac{d g}{d x}$ soit du côté gauche.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{1}{3}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $x^{\frac{1}{3}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 13.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$g (x) = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 15

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C$