Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{3 y - y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $3 y - y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{3 y - y^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y - y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y \cdot 3 - y^{2}}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y \cdot 3 + y (- y)}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 3 + y (- y)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = 3 y \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = y \cdot 3 \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = y \cdot 3 \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\cos (x)}{3 - y} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Étape 1.2.4

Associez $3$ et $\frac{\cos (x)}{3 - y}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} + y (- y) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Étape 1.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} + y (- y) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Étape 1.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - y \frac{\cos (x)}{3 - y}$

Étape 1.2.6

Associez $\frac{\cos (x)}{3 - y}$ et $y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - \frac{\cos (x) y}{3 - y}$

Étape 1.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x) - \cos (x) y}{3 - y}$

Étape 1.2.8

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $3 \cos (x) - \cos (x) y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $3 \cos (x)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cdot 3 - \cos (x) y}{3 - y}$

Étape 1.2.8.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x) y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cdot 3 + \cos (x) (- y)}{3 - y}$

Étape 1.2.8.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \cdot 3 + \cos (x) (- y)$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) (3 - y)}{3 - y}$

Étape 1.2.9

Annulez le facteur commun de $3 - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) (3 - y)}{3 - y}$

Étape 1.2.9.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(3 y - y^{2}) d y = \cos (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 3 y - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 y d y + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int y d y + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1

Simplifiez

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.6.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} = \sin (x) + K$