Calcul infinitésimal Exemples

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ par $x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ par $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

Étape 1.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x}{y}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $- \frac{x}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $\frac{x}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{y x}$

Étape 1.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{x y}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x \cdot x}{x y}$

Étape 1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x \cdot x}{x y}$

Étape 1.2.4.2

Réécrivez $x \cdot x$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x^{2}}{x y}$

Étape 1.2.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

Étape 2.3.4.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Étape 2.3.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Étape 2.3.4.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Étape 2.3.5

Factorisez le signe négatif.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

Étape 2.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

Étape 2.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

Étape 2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

Étape 2.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

Étape 2.3.10

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

Étape 2.3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.11.1

Soustrayez $x^{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

Étape 2.3.11.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.3.12

Divisez $- x^{2} + 1$ par $x$ .

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Étape 2.3.12.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 2.3.12.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Étape 2.3.12.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Étape 2.3.12.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} + 0$

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Étape 2.3.12.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Étape 2.3.12.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Étape 2.3.12.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.13

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.16

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 2.3.17

Simplifiez

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Étape 2.3.17.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 2.3.17.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = - x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 3.3

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y^{2} = - x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.5

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$