Calcul infinitésimal Exemples

$(x + y) \frac{d y}{d x} = 2 (x + y) + 1$

Étape 1

Laissez $v = x + y$ . Remplacez toutes les occurrences de $x + y$ par $v$ .

$v \frac{d y}{d x} = 2 v + 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d x}$ en différenciant $x + y$ .

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + y'$

Étape 3

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

$v \frac{d v}{d x} - v = 2 v + 1$

Étape 4

Séparez les variables.

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Étape 4.1

Résolvez $\frac{d v}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d v}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1.1.1

Ajoutez $v$ aux deux côtés de l’équation.

$v \frac{d v}{d x} = 2 v + 1 + v$

Étape 4.1.1.2

Additionnez $2 v$ et $v$ .

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$

Étape 4.1.2

Divisez chaque terme dans $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ par $v$ et simplifiez.

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Étape 4.1.2.1

Divisez chaque terme dans $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ par $v$ .

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 4.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Étape 4.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 4.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Étape 4.1.2.3.1.2

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 + \frac{1}{v}$

Étape 4.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{3 + \frac{1}{v}}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $3 + \frac{1}{v}$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = 1$

Étape 4.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = 1 d x$

Étape 5

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Étape 5.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1.1.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{v}{v}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Étape 5.2.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{\frac{3 v + 1}{v}} d v = \int d x$

Étape 5.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\int 1 \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $\frac{v}{3 v + 1}$ par $1$ .

$\int \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Étape 5.2.2

Divisez $v$ par $3 v + 1$ .

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Étape 5.2.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 v$

$1$

$v$

$0$

Étape 5.2.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $v$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 v$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$

Étape 5.2.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			+	$v$	+	$\frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $v + \frac{1}{3}$

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Étape 5.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{3} d v + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Étape 5.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} v + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Étape 5.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Étape 5.2.6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $v$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 v + 1} d v) = \int d x$

Étape 5.2.7

Laissez $u = 3 v + 1$ . Alors $d u = 3 d v$ , donc $\frac{1}{3} d u = d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.7.1

Laissez $u = 3 v + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 5.2.7.1.1

Différenciez $3 v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 1]$

Étape 5.2.7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 v + 1$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$

Étape 5.2.7.1.3

Évaluez $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

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Étape 5.2.7.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $3 v$ par rapport à $v$ est $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Étape 5.2.7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

Étape 5.2.7.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [1]$

Étape 5.2.7.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.2.7.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 5.2.7.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 5.2.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Étape 5.2.8

Simplifiez

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Étape 5.2.8.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Étape 5.2.8.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Étape 5.2.9

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Étape 5.2.10

Simplifiez

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Étape 5.2.10.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 5.2.10.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 5.2.11

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Étape 5.2.12

Simplifiez

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = x + C_{4}$

Étape 5.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Étape 6

Résolvez $v$ .

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $v$ .

$\frac{v}{3} - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Étape 6.1.2

Multipliez $- \frac{1}{9} \ln (| u |)$ .

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Étape 6.1.2.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| u |)$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{v}{3} - (\frac{1}{9} \ln (| u |)) = x + C$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez $\frac{1}{9} \ln (| u |)$ en déplaçant $\frac{1}{9}$ dans le logarithme.

$\frac{v}{3} - \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}) = x + C$

Étape 6.2

Ajoutez $\ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{v}{3} = x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Étape 6.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Étape 6.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Étape 6.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$v = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = 3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Étape 6.5

Simplifiez $3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ .

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Étape 6.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1.1

Simplifiez $3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3})$

Étape 6.5.1.2

Multipliez les exposants dans ${({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3}$ .

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Étape 6.5.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9} \cdot 3})$

Étape 6.5.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.5.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 3})$

Étape 6.5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3})$

Étape 6.5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Étape 6.5.2

Remettez dans l’ordre $3 x$ et $3 C$ .

$v = 3 C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Étape 7

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $x + y$ .

$x + y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Étape 9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}}) - x$

Étape 9.2

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$y = C + 2 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$