Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 6 e^{3 x} + 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (6 e^{3 x} + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 6 e^{3 x} + 1 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 6 e^{3 x} + 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 6 e^{3 x} d x + \int d x$

Étape 2.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 6 \int e^{3 x} d x + \int d x$

Étape 2.3.3

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.3.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.3.3.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int d x$

Étape 2.3.4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int d x$

Étape 2.3.5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int d x$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $6$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u + \int d x$

Étape 2.3.6.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u + \int d x$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u + \int d x$

Étape 2.3.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int d x$

Étape 2.3.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u + \int d x$

Étape 2.3.6.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$y + C_{1} = 2 \int e^{u} d u + \int d x$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2}) + \int d x$

Étape 2.3.8

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2}) + x + C_{3}$

Étape 2.3.9

Simplifiez

$y + C_{1} = 2 e^{u} + x + C_{4}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$y + C_{1} = 2 e^{3 x} + x + C_{4}$

Étape 2.3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = x + 2 e^{3 x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = x + 2 e^{3 x} + K$