Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 4 y$

Étape 1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = 2 x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 4$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 4 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 4 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 4 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 4 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} (2 x)$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} (2 x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = 2 e^{- 4 x} x$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = 2 e^{- 4 x} x$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = 2 x e^{- 4 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = 2 x e^{- 4 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 4 x} y = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 4 x} y = 2 \int x e^{- 4 x} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Étape 7.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Étape 7.3.3

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 7.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 7.5.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ par $1$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 7.6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Étape 7.7

Laissez $u = - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.7.1

Laissez $u = - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.7.1.1

Différenciez $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 7.7.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 7.7.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 7.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Étape 7.8.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Étape 7.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Étape 7.10

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Étape 7.11

Simplifiez

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Étape 7.11.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Étape 7.11.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Étape 7.12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Étape 7.13

Simplifiez

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Étape 7.13.1

Réécrivez $2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ comme $2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2

Simplifiez

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Étape 7.13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.2

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Étape 7.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 7.15

Simplifiez

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Étape 7.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 4 x} y = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4}) + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 7.15.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.15.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ dans le numérateur.

$e^{- 4 x} y = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{4} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 7.15.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{- 4 x} y = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 7.15.2.3

Annulez le facteur commun.

$e^{- 4 x} y = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 7.15.2.4

Réécrivez l’expression.

$e^{- 4 x} y = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 7.15.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.15.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 4 x}}{16}$ dans le numérateur.

$e^{- 4 x} y = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{16} + C$

Étape 7.15.3.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 (8)} + C$

Étape 7.15.3.3

Annulez le facteur commun.

$e^{- 4 x} y = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Étape 7.15.3.4

Réécrivez l’expression.

$e^{- 4 x} y = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Étape 7.15.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.15.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Étape 7.15.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Étape 7.15.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Étape 7.16

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{2} x e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x}{2} e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Étape 8.1.2

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Étape 8.1.3

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ par $e^{- 4 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ par $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 4 x}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 8.2.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ par $\frac{e^{- 4 x} x}{2}$ .

$y = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 8.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{- 4 x}$ .

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Étape 8.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 8.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 8.2.3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 8.2.3.1.5

Multipliez $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ par $\frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 8.2.3.1.6

Annulez le facteur commun de $e^{- 4 x}$ .

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Étape 8.2.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 8.2.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$