Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y \cot (2 x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Ajoutez $2 y \cot (2 x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = x$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = x$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $2 \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2 \cot (2 x)$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

Étape 2.2

Intégrez $2 \cot (2 x)$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

Étape 2.2.2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

Étape 2.2.3

Associez $\cot (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Étape 2.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Étape 2.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

Étape 2.2.5.3

Multipliez $\int \cot (u) d u$ par $1$ .

$e^{\int \cot (u) d u}$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sin (u) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sin (2 x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\sin (2 x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) x$

Étape 3.2

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Déplacez les parenthèses.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Étape 3.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (2 x)$ et $2 \cot (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) x$

Étape 3.2.3

Ajoutez des parenthèses.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Étape 3.2.4

Réécrivez $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Étape 3.2.5

Annulez les facteurs communs.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = x \sin (2 x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = x \sin (2 x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\sin (2 x) y = \int x \sin (2 x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 7.2.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 7.3

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Étape 7.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Étape 7.5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 7.6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 7.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Étape 7.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Étape 7.9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Étape 7.10

Simplifiez

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Étape 7.10.1

Réécrivez $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ comme $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Étape 7.10.2

Simplifiez

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Étape 7.10.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Étape 7.10.2.2

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Étape 7.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Étape 7.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.1.2

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ par $\sin (2 x)$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ par $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (2 x)$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2.3.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ à $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \csc (2 x) + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2.3.1.3

Associez $\csc (2 x)$ et $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) (\cos (2 x) x)}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $\sin (2 x)$ .

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Étape 8.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2.3.1.4.2

Divisez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2.3.1.5

Séparez les fractions.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2.3.1.6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ à $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

Étape 8.2.3.1.7

Divisez $C$ par $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$

Étape 8.2.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$ .

$y = - \frac{x \csc (2 x) \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$