Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $(x^{2} - 1) y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 1$ et $g (x) = y$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$(x^{2} - 1) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + 0)$

Étape 1.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x)$

Étape 1.7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Étape 1.8

Supprimez les parenthèses.

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Étape 1.9

Déplacez $y$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] = x$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] d x = \int x d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$(x^{2} - 1) y = \int x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $x^{2} - 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 1$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Étape 6.3.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Étape 6.3.1.4

Associez.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 ((x + 1) (x - 1))} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Étape 6.3.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Étape 6.3.1.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1.6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 6.3.1.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$