Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x) + 1)}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$

Étape 1.2

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} (\ln (\frac{y}{x}) + 1)$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\ln (\frac{y}{x}) + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (\ln (\frac{y}{x}) + 1) \frac{y}{x}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = (\ln (V) + 1) V$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez $(\ln (V) + 1) V$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\ln (V) + 1) V$

Étape 6.1.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

Étape 6.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + 1 V$

Étape 6.1.1.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1.1.4.1

Multipliez $V$ par $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + V$

Étape 6.1.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (V) V + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V) + V$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + V - V$

Étape 6.1.1.2.2

Associez les termes opposés dans $V \ln (V) + V - V$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + 0$

Étape 6.1.1.2.2.2

Additionnez $V \ln (V)$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{V \ln (V)}$ .

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $V \ln (V)$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{V \ln (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{V \ln (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u = \ln (V)$ . Alors $d u = \frac{1}{V} d V$ , donc $V d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u = \ln (V)$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Différenciez $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Étape 6.2.2.1.1.2

La dérivée de $\ln (V)$ par rapport à $V$ est $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| \ln (V) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| \ln (V) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$

Étape 6.3.3

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |})} = e^{C}$

Étape 6.3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) |}{| x |}$

Étape 6.3.5

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$

Étape 6.3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 6.3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| \ln (V) | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.5.4

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) | = | x | e^{C}$

Étape 6.3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) = \pm | x | e^{C}$

Étape 6.3.5.4.3

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C}}$

Étape 6.3.5.4.4

Réécrivez $\ln (V) = \pm | x | e^{C}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C}} = V$

Étape 6.3.5.4.5

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.5.4.5.1

Réécrivez l’équation comme $V = e^{\pm | x | e^{C}}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C}}$

Étape 6.3.5.4.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\pm | x | e^{C}}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x |}$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = e^{\pm C | x |}$

Étape 6.4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = e^{C | x |}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x |}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = e^{C | x |}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = e^{C | x |} x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C | x |} x$ .

$y = x e^{C | x |}$