Calcul infinitésimal Exemples

$x (1 - y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot 1 + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Étape 1.1.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x - x y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Étape 1.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Étape 1.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + 1 y - x y = 0$

Étape 1.1.1.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + y - x y = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} - x y = - y$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $x y$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Étape 1.1.3

Factorisez $x \frac{d y}{d x}$ à partir de $x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $x \frac{d y}{d x}$ à partir de $x \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $x \frac{d y}{d x}$ à partir de $- x y \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y) = - y + x y$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $x \frac{d y}{d x}$ à partir de $x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y)$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - 1 y) = - y + x y$

Étape 1.1.4

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$

Étape 1.1.5

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ par $x (1 - y)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.5.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ par $x (1 - y)$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - y$ .

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Étape 1.1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y}$

Étape 1.1.5.3.2

Pour écrire $\frac{y}{1 - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.1.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (1 - y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.5.3.3.1

Multipliez $\frac{y}{1 - y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{(1 - y) x}$

Étape 1.1.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(1 - y) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + y x}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- y + y x$ .

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Étape 1.1.5.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y x}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y (x)}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 + x)}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.3.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) + x)}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) - 1 (- x))}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1 - x))}{x (1 - y)}$

Étape 1.1.5.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (1 - x)}{x (1 - y)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1 - y}{y}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{y} (- \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} (\frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Étape 1.4.2

Multipliez $\frac{y}{1 - y}$ par $\frac{1 - x}{x}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $1 - y$ .

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Étape 1.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 - y}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (1 - y)}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Étape 1.4.3.2

Factorisez $1 - y$ à partir de $- (1 - y)$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Étape 1.4.3.3

Factorisez $1 - y$ à partir de $(1 - y) x$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) (x)}$

Étape 1.4.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Étape 1.4.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Étape 1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1 - x}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Étape 2.2.3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Étape 2.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Étape 2.2.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 - x}{x} d x$

Étape 2.3.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{- x + 1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Divisez $- x + 1$ par $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$x$

$1$

Étape 2.3.3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$1$
	$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$

Étape 2.3.3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$0$

Étape 2.3.3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 0$

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$

Étape 2.3.3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$
					+	$1$

Étape 2.3.3.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int - 1 + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int - 1 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + \ln (| x |)) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - (- x + \ln (| x |)) + C$