Calcul infinitésimal Exemples

$y (x^{3} - y^{5}) d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y (x^{3} - y^{5})$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x^{3} - y^{5})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = x^{3} - y^{5}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x^{3} - y^{5}] + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - y^{5}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{5}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{5}]) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y^{5}]) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y^{5}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y^{5}] + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{5}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y^{5}]) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- (5 y^{4})) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 5 y^{4}) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 5 (y^{1} y^{4}) + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 5 y^{1 + 4} + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 5 y^{5} + (x^{3} - y^{5}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 5 y^{5} + (x^{3} - y^{5}) \cdot 1$

Étape 1.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.8.1

Multipliez $x^{3} - y^{5}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 5 y^{5} + x^{3} - y^{5}$

Étape 1.8.2

Soustrayez $y^{5}$ de $- 5 y^{5}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{5} + x^{3}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - x (x^{3} + y^{5})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x (x^{3} + y^{5})]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x (x^{3} + y^{5})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x (x^{3} + y^{5})]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x (x^{3} + y^{5})]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{3} + y^{5}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{5}] + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]) + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{5}]) + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.3

Comme $y^{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{5}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (3 x^{2} + 0) + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (3 x^{2}) + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 (x^{1} x^{2}) + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{1 + 2} + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{3} + (x^{3} + y^{5}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{3} + (x^{3} + y^{5}) \cdot 1)$

Étape 2.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.9.1

Multipliez $x^{3} + y^{5}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{3} + x^{3} + y^{5})$

Étape 2.9.2

Additionnez $3 x^{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (4 x^{3} + y^{5})$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (4 x^{3}) - y^{5}$

Étape 2.10.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 x^{3} - y^{5}$

Étape 2.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y^{5} - 4 x^{3}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 6 y^{5} + x^{3}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y^{5} - 4 x^{3}$ .

$- 6 y^{5} + x^{3} = - y^{5} - 4 x^{3}$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 6 y^{5} + x^{3} = - y^{5} - 4 x^{3}$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y^{5} - 4 x^{3}$ .

$\frac{- y^{5} - 4 x^{3} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 6 y^{5} + x^{3}$ .

$\frac{- y^{5} - 4 x^{3} - (- 6 y^{5} + x^{3})}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y (x^{3} - y^{5})$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y (x^{3} - y^{5})$ .

$\frac{- y^{5} - 4 x^{3} - (- 6 y^{5} + x^{3})}{y (x^{3} - y^{5})}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- y^{5} - 4 x^{3} - (- 6 y^{5}) - x^{3}}{y (x^{3} - y^{5})}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{5} - 4 x^{3} + 6 y^{5} - x^{3}}{y (x^{3} - y^{5})}$

Étape 4.3.2.3

Additionnez $- y^{5}$ et $6 y^{5}$ .

$\frac{5 y^{5} - 4 x^{3} - x^{3}}{y (x^{3} - y^{5})}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{5 y^{5} - 5 x^{3}}{y (x^{3} - y^{5})}$

Étape 4.3.2.5

Factorisez $5$ à partir de $5 y^{5} - 5 x^{3}$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5 y^{5}$ .

$\frac{5 (y^{5}) - 5 x^{3}}{y (x^{3} - y^{5})}$

Étape 4.3.2.5.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{5 (y^{5}) + 5 (- x^{3})}{y (x^{3} - y^{5})}$

Étape 4.3.2.5.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (y^{5}) + 5 (- x^{3})$ .

$\frac{5 (y^{5} - x^{3})}{y (x^{3} - y^{5})}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $y^{5} - x^{3}$ et $x^{3} - y^{5}$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $y^{5}$ .

$\frac{5 (- 1 (- y^{5}) - x^{3})}{y (x^{3} - y^{5})}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{5 (- 1 (- y^{5}) - (x^{3}))}{y (x^{3} - y^{5})}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y^{5}) - (x^{3})$ .

$\frac{5 (- 1 (- y^{5} + x^{3}))}{y (x^{3} - y^{5})}$

Étape 4.3.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 (- 1 (- y^{5} + x^{3}))}{y (- y^{5} + x^{3})}$

Étape 4.3.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 1 (- y^{5} + x^{3}))}{y (- y^{5} + x^{3})}$

Étape 4.3.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \cdot (- 1)}{y}$

Étape 4.3.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 5}{y}$

Étape 4.3.5

Remplacez $M$ par $y (x^{3} - y^{5})$ .

$- \frac{5}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 5 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 5$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y (x^{3} - y^{5}) d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{5}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y (x^{3} - y^{5})$ par $\frac{1}{y^{5}}$ .

$y (x^{3} - y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{5}$ .

$y (x^{3} - y^{5}) \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y (x^{3} - y^{5}) \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$(x^{3} - y^{5}) \frac{1}{y^{4}} d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x^{3} - y^{5}$ par $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x - x (x^{3} + y^{5}) d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $- x (x^{3} + y^{5})$ par $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x - x (x^{3} + y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + (- x \cdot x^{3} - x y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + (- (x^{3} x) - x y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.6.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 6.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + (- (x^{3} x^{1}) - x y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + (- x^{3 + 1} - x y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + (- x^{4} - x y^{5}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $- x^{4} - x y^{5}$ par $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{- x^{4} - x y^{5}}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.8.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4} - x y^{5}$ .

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Étape 6.8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- x^{3}) - x y^{5}}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x y^{5}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- x^{3}) + x (- 1 y^{5})}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{3}) + x (- 1 y^{5})$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- x^{3} - 1 y^{5})}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.8.2

Réécrivez $- 1 y^{5}$ comme $- y^{5}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- x^{3} - y^{5})}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- (x^{3}) - y^{5})}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{5}$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- (x^{3}) - (y^{5}))}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (y^{5})$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- (x^{3} + y^{5}))}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.12

Réécrivez $- (x^{3} + y^{5})$ comme $- 1 (x^{3} + y^{5})$ .

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x + \frac{x (- 1 (x^{3} + y^{5}))}{y^{5}} d y = 0$

Étape 6.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{x^{3} - y^{5}}{y^{4}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\frac{1}{y^{4}}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{y^{4}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} \int x^{3} - y^{5} d x$

Étape 8.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\int x^{3} d x + \int - y^{5} d x)$

Étape 8.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - y^{5} d x)$

Étape 8.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} + C - y^{5} x + C)$

Étape 8.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{x^{4}}{4} + C - y^{5} x + C)$

Étape 8.6

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x)]$ .

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Étape 11.3.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}} (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = \frac{1}{y^{4}}$ et $g (y) = \frac{x^{4}}{4} - y^{5} x$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d}{d y} [\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x] + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{5} x]$ .

$\frac{1}{y^{4}} (\frac{d}{d y} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{5} x]) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.4

Comme $\frac{x^{4}}{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x^{4}}{4}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 + \frac{d}{d y} [- y^{5} x]) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.5

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{5} x$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x \frac{d}{d y} [y^{5}]) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.7

Réécrivez $\frac{1}{y^{4}}$ comme ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{4}$ .

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Étape 11.3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - x (5 y^{4})) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.10

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{y^{4}} (0 - 5 x y^{4}) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.11

Soustrayez $5 x y^{4}$ de $0$ .

$\frac{1}{y^{4}} (- 5 x y^{4}) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.12

Associez $- 5$ et $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{- 5}{y^{4}} (x y^{4}) + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.13

Associez $x$ et $\frac{- 5}{y^{4}}$ .

$\frac{x \cdot - 5}{y^{4}} y^{4} + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.14

Associez $\frac{x \cdot - 5}{y^{4}}$ et $y^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 5 y^{4}}{y^{4}} + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.15

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 5 \cdot x y^{4}}{y^{4}} + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.16

Annulez le facteur commun de $y^{4}$ .

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Étape 11.3.16.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x y^{4}}{y^{4}} + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.16.2

Divisez $- 5 x$ par $1$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.17

Multipliez les exposants dans ${(y^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 11.3.17.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.17.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.18

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.19

Multipliez $y^{- 8}$ par $y^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.19.1

Déplacez $y^{3}$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.3.19.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 y^{- 5}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 x + (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x + \frac{x^{4}}{4} (- 4 \frac{1}{y^{5}}) - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3

Associez des termes.

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Étape 11.5.3.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{y^{5}}$ .

$- 5 x + \frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{- 4}{y^{5}} - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 5 x + \frac{x^{4}}{4} (- \frac{4}{y^{5}}) - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.3

Multipliez $\frac{x^{4}}{4}$ par $\frac{4}{y^{5}}$ .

$- 5 x - \frac{x^{4} \cdot 4}{4 y^{5}} - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4}$ .

$- 5 x - \frac{4 \cdot x^{4}}{4 y^{5}} - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$- 5 x - \frac{4 x^{4}}{4 y^{5}} - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} - y^{5} x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.6

Associez $- 4$ et $\frac{1}{y^{5}}$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} - y^{5} x \frac{- 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} - y^{5} x (- \frac{4}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + 1 y^{5} x \frac{4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.9

Multipliez $y^{5}$ par $1$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + y^{5} x \frac{4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.10

Associez $y^{5}$ et $\frac{4}{y^{5}}$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + x \frac{y^{5} \cdot 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.11

Associez $x$ et $\frac{y^{5} \cdot 4}{y^{5}}$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{x (y^{5} \cdot 4)}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.12

Déplacez $4$ à gauche de $y^{5}$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{x (4 \cdot y^{5})}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.13

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{4 \cdot x y^{5}}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.14

Annulez le facteur commun de $y^{5}$ .

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Étape 11.5.3.14.1

Annulez le facteur commun.

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{4 x y^{5}}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.14.2

Divisez $4 x$ par $1$ .

$- 5 x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + 4 x + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.3.15

Additionnez $- 5 x$ et $4 x$ .

$- x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 11.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - x - \frac{x^{4}}{y^{5}} = - \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1

Ajoutez $\frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - x - \frac{x^{4}}{y^{5}} + \frac{x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{- x^{4} + x (x^{3} + y^{5})}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{- x^{4} + x \cdot x^{3} + x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.3.2.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 12.1.3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{- x^{4} + x^{1} x^{3} + x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{- x^{4} + x^{1 + 3} + x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.3.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{- x^{4} + x^{4} + x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.4

Additionnez $- x^{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{0 + x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.5

Additionnez $0$ et $x y^{5}$ .

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.6

Annulez le facteur commun de $y^{5}$ .

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Étape 12.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} - x + \frac{x y^{5}}{y^{5}} = 0$

Étape 12.1.6.2

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x + x = 0$

Étape 12.1.7

Associez les termes opposés dans $\frac{d g}{d y} - x + x$ .

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Étape 12.1.7.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Étape 12.1.7.2

Additionnez $\frac{d g}{d y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (y) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{4} x^{4} - y^{5} x) + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x) + C$

Étape 15.2

Multipliez $\frac{1}{y^{4}}$ par $\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x}{y^{4}} + C$

Étape 15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.3.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{x^{4}}{4} - y^{5} x$ .

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Étape 15.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{x^{3}}{4} - y^{5} x}{y^{4}} + C$

Étape 15.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- y^{5} x$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{x^{3}}{4} + x (- y^{5})}{y^{4}} + C$

Étape 15.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \frac{x^{3}}{4} + x (- y^{5})$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{x^{3}}{4} - y^{5})}{y^{4}} + C$

Étape 15.3.2

Pour écrire $- y^{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{x^{3}}{4} - y^{5} \cdot \frac{4}{4})}{y^{4}} + C$

Étape 15.3.3

Associez $- y^{5}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{x^{3}}{4} + \frac{- y^{5} \cdot 4}{4})}{y^{4}} + C$

Étape 15.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{x \frac{x^{3} - y^{5} \cdot 4}{4}}{y^{4}} + C$

Étape 15.3.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{x^{3} - 4 y^{5}}{4}}{y^{4}} + C$

Étape 15.4

Associez $x$ et $\frac{x^{3} - 4 y^{5}}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{x (x^{3} - 4 y^{5})}{4}}{y^{4}} + C$

Étape 15.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (x, y) = \frac{x (x^{3} - 4 y^{5})}{4} \cdot \frac{1}{y^{4}} + C$

Étape 15.6

Associez.

$f (x, y) = \frac{x (x^{3} - 4 y^{5}) \cdot 1}{4 y^{4}} + C$

Étape 15.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (x^{3} - 4 y^{5})}{4 y^{4}} + C$