Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) d y + y^{2} \cos (x) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{2} \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} \cos (x)]$

Étape 2.2

Comme $\cos (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{2} \cos (x)$ par rapport à $y$ est $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) (2 y)$

Étape 2.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot \cos (x) y$

Étape 2.4.2

Réorganisez les facteurs de $2 \cos (x) y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y \cos (x)$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = \sin (x)$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y \cos (x)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\cos (x)$ .

$2 y \cos (x) = \cos (x)$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 y \cos (x) = \cos (x)$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $y^{2} \cos (x)$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $y^{2} \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{y^{2} \cos (x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) - 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 - 1 \cdot 2 y \cos (x)}{y^{2} \cos (x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Étape 5.3.2.1.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Étape 5.3.3

Remplacez $M$ par $y^{2} \cos (x)$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 2 y}{y^{2}}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$ .

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Étape 6.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) {(y^{2})}^{- 1} d y}$

Étape 6.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{2 \cdot - 1} d y}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{- 2} d y}$

Étape 6.2

Multipliez $(1 - 2 y) y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 1 y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez $y^{- 2}$ par $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

Étape 6.3.2

Multipliez $y$ par $y^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.1

Déplacez $y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y) d y}$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $y^{- 2}$ par $y$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y^{1}) d y}$

Étape 6.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 2 + 1} d y}$

Étape 6.3.2.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 1} d y}$

Étape 6.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} d y + \int - 2 y^{- 1} d y}$

Étape 6.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C + \int - 2 y^{- 1} d y}$

Étape 6.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 \int y^{- 1} d y}$

Étape 6.7

L’intégrale de $y^{- 1}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 6.8

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 6.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.9.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln ({| y |}^{2})} + C$

Étape 6.9.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $y^{2} \cos (x)$ par $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d x + \sin (x) d y = 0$

Étape 7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $\sin (x)$ par $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d y = 0$

Étape 7.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Réécrivez $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ comme $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x) d x$

Étape 9.2

Comme $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ est constant par rapport à $x$ , placez $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \int \cos (x) d x$

Étape 9.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \int \cos (x) d x$

Étape 9.4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\sin (x) + C)$

Étape 9.5

Simplifiez

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $\sin (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ par rapport à $y$ est $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}]$ .

$\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}$ .

$\sin (x) (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

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Étape 12.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = - 1$ et $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.6

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 \ln (y)$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.10

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.13

Multipliez $y^{- 2}$ par $1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.14

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.15

Additionnez $y^{- 2}$ et $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.16

Associez $- 2$ et $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{- 2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}))) + \sin (x) (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.3

Supprimez les parenthèses.

$\sin (x) y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.5.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 12.5.5.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 12.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.5.5.4.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 12.5.5.4.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + y (- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.5.4.1.2

Annulez le facteur commun.

Étape 12.5.5.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) \cdot 2 + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.5.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.6

Associez les termes opposés dans $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

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Étape 12.5.6.1

Additionnez $- 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ et $2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + 0 = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 12.5.6.2

Additionnez $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

Étape 13.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.1.2.1

Simplifiez $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

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Étape 13.1.2.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (y)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

Étape 13.1.2.1.2

Soustrayez $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ de $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d y}$

Étape 13.1.3

Comme $\frac{d g}{d y}$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- \frac{d g}{d y} = 0$

Étape 13.1.4

Divisez chaque terme dans $- \frac{d g}{d y} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 13.1.4.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{d g}{d y} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 13.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.1.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 13.1.4.2.2

Divisez $\frac{d g}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{0}{- 1}$

Étape 13.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.1.4.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Étape 14

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Étape 14.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Étape 14.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (y) = C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

Étape 16

Simplifiez $- 2 \ln (y)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) + C$