Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y \frac{d y}{d x} + y^{2} - 2 x = 0$

Étape 1

Laissez $v = y^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{2}$ par $v$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} + v - 2 x = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d x}$ en différenciant $y^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Étape 3

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

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Étape 3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d v}{d x} + v - 2 x = 0$

Étape 4

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d v}{d x} + v = 2 x$

Étape 5

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x v$ .

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Étape 5.4

Remplacez $v'$ par $\frac{d v}{d x}$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Étape 5.5

Remettez dans l’ordre $v$ et $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Étape 5.6

Multipliez $v$ par $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Étape 6

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x v] = 2 x$

Étape 7

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 2 x d x$

Étape 8

Intégrez le côté gauche.

$x v = \int 2 x d x$

Étape 9

Intégrez le côté droit.

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Étape 9.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x v = 2 \int x d x$

Étape 9.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 9.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 9.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 9.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x v = 1 x^{2} + C$

Étape 9.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x v = x^{2} + C$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $x v = x^{2} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $x v = x^{2} + C$ par $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 10.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 10.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 10.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Étape 10.3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 10.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 10.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

Étape 10.3.1.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$v = x + \frac{C}{x}$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $y^{2}$ .

$y^{2} = x + \frac{C}{x}$

Étape 12

Résolvez $y$ .

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Étape 12.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$

Étape 12.2

Simplifiez $\pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$ .

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Étape 12.2.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}}$

Étape 12.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x + C}{x}}$

Étape 12.2.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$

Étape 12.2.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$

Étape 12.2.5

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 12.2.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 12.2.6.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Étape 12.2.6.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Étape 12.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 12.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 12.2.6.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 12.2.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12.2.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 12.2.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.2.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.2.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Étape 12.2.6.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x}$

Étape 12.2.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$

Étape 12.2.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Étape 12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Étape 12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Étape 12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$