Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- y} \cos (x) + \frac{d y}{d x} \sin^{2} (x) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $e^{- y} \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} \sin^{2} (x) = - e^{- y} \cos (x)$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \sin^{2} (x) = - e^{- y} \cos (x)$ par $\sin^{2} (x)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \sin^{2} (x) = - e^{- y} \cos (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{- y} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{- y} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3.2

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{- y}}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.1.2.3.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{- y}}{\sin (x)} \cot (x)$

Étape 1.1.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{- y}}{\sin (x)} \cot (x)$

Étape 1.1.2.3.5

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{e^{- y}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) \cot (x)$

Étape 1.1.2.3.6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{e^{- y}}{1} \csc (x)) \cot (x)$

Étape 1.1.2.3.7

Divisez $e^{- y}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - e^{- y} \csc (x) \cot (x)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (- e^{- y} \csc (x) \cot (x))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \csc (x) \cot (x))$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

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Étape 1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{e^{- y}}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{- y}} (e^{- y} \csc (x) \cot (x))$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $e^{- y} \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{- y}} (e^{- y} (\csc (x) \cot (x)))$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{- y}} (e^{- y} (\csc (x) \cot (x)))$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = - (\csc (x) \cot (x))$

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = - \csc (x) \cot (x)$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = - \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.1.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.2.1.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\int e^{y} d y = \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = - \int \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.3.2

Comme la dérivée de $- \csc (x)$ est $\csc (x) \cot (x)$ , l’intégrale de $\csc (x) \cot (x)$ est $- \csc (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = - (- \csc (x) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez

$e^{y} + C_{1} = - - \csc (x) + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{y} + C_{1} = 1 \csc (x) + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$e^{y} + C_{1} = \csc (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = \csc (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (\csc (x) + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (\csc (x) + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\csc (x) + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (\csc (x) + K)$