Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} = - 1 - 2 r \cos (θ)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d r}{d θ} + M (θ) r = Q (θ)$ .

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Étape 1.1

Ajoutez $2 r \cos (θ)$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \cos (θ) = - 1$

Étape 1.2

Factorisez $r$ à partir de $2 r \cos (θ)$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r (2 \cos (θ)) = - 1$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $r$ et $2 \cos (θ)$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$

Étape 1.4

Divisez chaque terme dans $\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$ par $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 1.5.2

Divisez $\frac{d r}{d θ}$ par $1$ .

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 1.6

Factorisez $r$ à partir de $\frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)}$ .

$\frac{d r}{d θ} + r \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 1.7

Remettez dans l’ordre $r$ et $\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (θ) d θ}$ , où $P (θ) = \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Étape 2.2.1

Séparez les fractions.

$e^{\int \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

Étape 2.2.2

Convertissez de $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ à $\cot (θ)$ .

$e^{\int \frac{2}{1} \cot (θ) d θ}$

Étape 2.2.3

Divisez $2$ par $1$ .

$e^{\int 2 \cot (θ) d θ}$

Étape 2.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \cot (θ) d θ}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\cot (θ)$ par rapport à $θ$ est $\ln (| \sin (θ) |)$ .

$e^{2 (\ln (| \sin (θ) |) + C)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{2 \ln (| \sin (θ) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (\sin (θ))}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (\sin^{2} (θ))}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sin^{2} (θ)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\sin^{2} (θ)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\sin^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Séparez les fractions.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 3.2.2

Convertissez de $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ à $\cot (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cot (θ) r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \frac{2}{1} \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \cdot - 1$

Étape 3.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - 1 \cdot \sin (θ)$

Étape 3.5

Réécrivez $- 1 \sin (θ)$ comme $- \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$

Étape 3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \sin^{2} (θ) \cot (θ) = - \sin (θ)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] = - \sin (θ)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] d θ = \int - \sin (θ) d θ$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\sin^{2} (θ) r = \int - \sin (θ) d θ$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\sin^{2} (θ) r = - \int \sin (θ) d θ$

Étape 7.2

L’intégrale de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \cos (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) r = - (- \cos (θ) + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Simplifiez

$\sin^{2} (θ) r = - - \cos (θ) + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin^{2} (θ) r = 1 \cos (θ) + C$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ par $\sin^{2} (θ)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ par $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (θ)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin^{2} (θ)$ .

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 8.3.1.2

Séparez les fractions.

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 8.3.1.3

Convertissez de $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ à $\cot (θ)$ .

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 8.3.1.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (θ)}$ à $\csc (θ)$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 8.3.1.5

Multipliez par $1$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ) \cdot 1}$

Étape 8.3.1.6

Séparez les fractions.

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 8.3.1.7

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ à $\csc^{2} (θ)$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \csc^{2} (θ)$

Étape 8.3.1.8

Divisez $C$ par $1$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + C \csc^{2} (θ)$