Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = x^{3} + 3 x^{4}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 3 x^{4} + x^{3}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 3 x^{4} + x^{3}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 3 x^{4} + x^{3}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 2}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{2 y}{x}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.2.4.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 \frac{1}{x^{2}} x^{4} + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} x^{4} + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} (x^{2} x)$

Étape 3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} (x^{2} x)$

Étape 3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + x$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 3 x^{2} + x$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 3 x^{2} + x d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 3 x^{2} + x d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 3 x^{2} d x + \int x d x$

Étape 7.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 \int x^{2} d x + \int x d x$

Étape 7.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x$

Étape 7.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 7.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{x^{2}} y = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{3} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2

Simplifiez

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Étape 8.4.2.1.2.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3 + 2} + \frac{x^{2}}{2} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$y = x^{5} + \frac{x^{2}}{2} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{2} x^{2}$ .

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Étape 8.4.2.1.2.2.1

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = x^{5} + \frac{x^{2} x^{2}}{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1.2.2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{5} + \frac{x^{2 + 2}}{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = x^{5} + \frac{x^{4}}{2} + C x^{2}$