Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + 2 y) d x + (4 - x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(1 + 2 y) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(4 - x^{2}) d y = - (1 + 2 y) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)}$ .

$\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (4 - x^{2}) d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $4 - x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (4 - x^{2}) d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $1 + 2 y$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $1 + 2 y$ à partir de $(4 - x^{2}) (1 + 2 y)$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (4 - x^{2})} (1 + 2 y) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (4 - x^{2})} (1 + 2 y) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{4 - x^{2}} d x$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{2^{2} - x^{2}} d x$

Étape 3.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = 1 + 2 y$ . Alors $d u_{1} = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 + 2 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $1 + 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

Étape 4.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 4.2.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 4.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 4.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 4.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Étape 4.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2$

Étape 4.2.1.1.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 2 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Étape 4.3.2

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 4.3.2.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 4.3.2.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{2 + x}$

Étape 4.3.2.1.2

$\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2 + x$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2 - x$ .

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Étape 4.3.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.6.1

Annulez le facteur commun de $2 + x$ .

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Étape 4.3.2.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.1.2

Divisez $(A) (2 - x)$ par $1$ .

$1 = (A) (2 - x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.3

Déplacez $2$ à gauche de $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 2 \cdot A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.5

Annulez le facteur commun de $2 - x$ .

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Étape 4.3.2.1.6.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = 2 A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Étape 4.3.2.1.6.5.2

Divisez $(B) (2 + x)$ par $1$ .

$1 = 2 A - A x + (B) (2 + x)$

Étape 4.3.2.1.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 2 A - A x + B \cdot 2 + B x$

Étape 4.3.2.1.6.7

Déplacez $2$ à gauche de $B$ .

$1 = 2 A - A x + 2 B + B x$

Étape 4.3.2.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1.7.1

Déplacez $A$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Étape 4.3.2.1.7.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Étape 4.3.2.1.7.3

Déplacez $2 B$ .

$1 = 2 A - x A + B x + 2 B$

Étape 4.3.2.1.7.4

Déplacez $2 A$ .

$1 = - x A + B x + 2 A + 2 B$

Étape 4.3.2.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 4.3.2.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 1 A + B$

Étape 4.3.2.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 2 A + 2 B$

Étape 4.3.2.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

Étape 4.3.2.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 4.3.2.3.1

Résolvez $B$ dans $0 = - 1 A + B$ .

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Étape 4.3.2.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 A + B = 0$ .

$- 1 A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Étape 4.3.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 A$ comme $- A$ .

$- A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Étape 4.3.2.3.1.3

Ajoutez $A$ aux deux côtés de l’équation.

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

Étape 4.3.2.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $A$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.2.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $1 = 2 A + 2 B$ par $A$ .

$1 = 2 A + 2 (A)$

$B = A$

Étape 4.3.2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.2.2.1

Additionnez $2 A$ et $2 A$ .

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

Étape 4.3.2.3.3

Résolvez $A$ dans $1 = 4 A$ .

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Étape 4.3.2.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = A$

Étape 4.3.2.3.3.2

Divisez chaque terme dans $4 A = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 A = 1$ par $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Étape 4.3.2.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.2.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Étape 4.3.2.3.3.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

Étape 4.3.2.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $\frac{1}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.2.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $B = A$ par $\frac{1}{4}$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 4.3.2.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.3.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Étape 4.3.2.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Étape 4.3.2.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez

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Étape 4.3.2.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Étape 4.3.2.5.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Étape 4.3.2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.3.2.5.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2 - x}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Étape 4.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{4 (2 + x)} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 + x} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Étape 4.3.5

Laissez $u_{2} = 2 + x$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.5.1

Laissez $u_{2} = 2 + x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.5.1.1

Différenciez $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Étape 4.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.5.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.3.5.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Étape 4.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Étape 4.3.7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 - x} d x)$

Étape 4.3.8

Laissez $u_{3} = 2 - x$ . Alors $d u_{3} = - d x$ , donc $- d u_{3} = d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 4.3.8.1

Laissez $u_{3} = 2 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 4.3.8.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 4.3.8.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Étape 4.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Étape 4.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Étape 4.3.11

L’intégrale de $\frac{1}{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Étape 4.3.12

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C_{4}$

Étape 4.3.13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 4.3.13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 + x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 2 + x |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C_{4}$

Étape 4.3.13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 - x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 2 + x |)}{4} - \frac{\ln (| 2 - x |)}{4}) + C_{4}$

Étape 4.3.14

Simplifiez

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Étape 4.3.14.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 2 + x |) - \ln (| 2 - x |)}{4} + C_{4}$

Étape 4.3.14.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C_{4}$

Étape 4.3.15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 + 2 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Associez $\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C)$

Étape 5.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

Étape 5.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2 (2)}$

Étape 5.2.2.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2.2.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2}$

Étape 5.2.2.1.4

Déplacez $4$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + 4 C}{2}$

Étape 5.2.2.1.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.2.2.1.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) + 4 C}{2}$

Étape 5.2.2.1.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $4 C$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) - (- 4 C)}{2}$

Étape 5.2.2.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) - (- 4 C)$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)}{2}$

Étape 5.2.2.1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.5.4.1

Réécrivez $- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)$ comme $- 1 (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- 1 (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)}{2}$

Étape 5.2.2.1.5.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 + 2 y |)} = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}} = | 1 + 2 y |$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 + 2 y | = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$ .

$| 1 + 2 y | = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Étape 5.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + 2 y = \pm e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Étape 5.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.5.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \pm e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}} - 1$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.2.1

Divisez la fraction $\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$ en deux fractions.

$2 y = \pm e^{- (\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{2} + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Étape 5.5.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.2.2.1

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ .

$2 y = \pm e^{- (\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Étape 5.5.3.2.2.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$2 y = \pm e^{- (\ln ({(\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Étape 5.5.3.2.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Étape 5.5.3.2.2.4

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 5.5.3.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 C$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2})} - 1$

Étape 5.5.3.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2 (1)})} - 1$

Étape 5.5.3.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2 \cdot 1})} - 1$

Étape 5.5.3.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 2 C}{1})} - 1$

Étape 5.5.3.2.2.4.2.4

Divisez $- 2 C$ par $1$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) - 2 C)} - 1$

Étape 5.5.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) - (- 2 C)} - 1$

Étape 5.5.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$

Étape 5.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 5.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1}{2}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + C} - 1}{2}$

Étape 6.2

Réécrivez $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + C}$ comme $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} e^{C} - 1}{2}$

Étape 6.3

Remettez dans l’ordre $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} - 1}{2}$

Étape 6.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} - 1}{2}$