Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.4

Associez $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ et $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.5

Factorisez $y$ à partir de $\frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Étape 1.6

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ par $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{2 x + 1}{(x + 1) x} d x}$

Étape 2.2.2

Laissez $u = (x + 1) x$ . Alors $d u = (2 x + 1) d x$ , donc $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = (x + 1) x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $(x + 1) x$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) x]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 1) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.2.2.1.3.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$x + 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.2.2.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.2.2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x + 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.2.2.1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x + 1 + x (1 + 0)$

Étape 2.2.2.1.3.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.2.1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x + 1 + x \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + 1 + x$

Étape 2.2.2.1.3.6.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x + 1$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(x + 1) x$ .

$e^{\ln (| (x + 1) x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln ((x + 1) x)}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$(x + 1) x$

Étape 2.5

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 1 x$

Étape 2.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 1 x$

Étape 2.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2} + x$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{2} + x$ .

$(x^{2} + x) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.3

Multipliez $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ par $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{(x + 1) x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{2 x + 1}{(x + 1) x}$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) \frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.5

Multipliez $x^{2} + x$ par $\frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + x) ((2 x + 1) y)}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.6

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 3.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x^{1}) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.6.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{((x + 1) (2 x + 1)) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.8

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) (2 x + 1) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.8.2

Divisez $(2 x + 1) y$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (2 x + 1) y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.9

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + 1 y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.2.10

Multipliez $y$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Multipliez $x^{2} + x$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Étape 3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) (- \frac{1}{x})$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x^{2} (- \frac{1}{x}) + x (- \frac{1}{x})$

Étape 3.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} + x (- \frac{1}{x})$

Étape 3.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Étape 3.3.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Étape 3.3.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Étape 3.3.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - x \frac{1}{x}$

Étape 3.3.6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Étape 3.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Étape 3.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - 1$

Étape 3.4

Associez les termes opposés dans $x^{2} + x - x - 1$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + 0 - 1$

Étape 3.4.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} - 1$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] = x^{2} - 1$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

Étape 7.3

Appliquez la règle de la constante.

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

Étape 7.4

Simplifiez

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ par $x^{2} + x$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ par $x^{2} + x$ .

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.4

Associez.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 8.3.1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} \cdot 1$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 (x (x + 1))$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 8.3.1.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.7.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.7.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.3.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- 1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Étape 8.3.1.10

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 8.3.1.10.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x}$

Étape 8.3.1.10.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x^{1}}$

Étape 8.3.1.10.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Étape 8.3.1.10.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Étape 8.3.2

Pour écrire $- \frac{1}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Étape 8.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Étape 8.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Étape 8.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Étape 8.3.5

Pour écrire $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Étape 8.3.6

Pour écrire $\frac{C}{x (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 8.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 (x + 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.7.1

Multipliez $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 8.3.7.2

Multipliez $\frac{C}{x (x + 1)}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Étape 8.3.7.3

Réorganisez les facteurs de $3 (x + 1) x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Étape 8.3.7.4

Réorganisez les facteurs de $x (x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Étape 8.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(x^{2} - 3) x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Étape 8.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x^{2} x - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Étape 8.3.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.9.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.3.9.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Étape 8.3.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{x^{2 + 1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Étape 8.3.9.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Étape 8.3.9.3

Déplacez $3$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 x (x + 1)}$