Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y + 2 y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 2 y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x + 2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$2 x + 2 = 0$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x + 2 = 0$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x + 2$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $2 x y + 2 y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $2 x y + 2 y$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{2 x y + 2 y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0 - (2 x) - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0 - 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $- (- 2 x - 2)$ de $0$ .

$\frac{- 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Étape 4.3.2.5

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x - 2$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 2}{2 x y + 2 y}$

Étape 4.3.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 1)}{2 x y + 2 y}$

Étape 4.3.2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 x y + 2 y}$

Étape 4.3.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 x y + 2 y$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y (1)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x - 1}{y (x + 1)}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun à $- x - 1$ et $x + 1$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{y (x + 1)}$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{y (x + 1)}$

Étape 4.3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{y (x + 1)}$

Étape 4.3.5.4

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Étape 4.3.5.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Étape 4.3.5.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y}$

Étape 4.3.6

Remplacez $M$ par $2 x y + 2 y$ .

$- \frac{1}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- \ln (| y |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 x y + 2 y$ par $\frac{1}{y}$ .

$(2 x y + 2 y) \frac{1}{y} d x - y d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $2 x y + 2 y$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x y + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 x y + 2 y$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y (1)}{y} d x - y d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Étape 6.4.2

Divisez $2 (x + 1)$ par $1$ .

$2 (x + 1) d x - y d y = 0$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + 2 \cdot 1) d x - y d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$(2 x + 2) d x - y d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $- y$ par $\frac{1}{y}$ .

$(2 x + 2) d x - y \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.8

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.8.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.8.2

Annulez le facteur commun.

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.8.3

Réécrivez l’expression.

$(2 x + 2) d x - 1 d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 1 d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = - 1$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 2$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- y + g (x)] = 2 x + 2$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Étape 11.3

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Étape 11.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Étape 12

Déterminez la primitive de $2 x + 2$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 12.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 2 d x$

Étape 12.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + 2 d x$

Étape 12.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int 2 x d x + \int 2 d x$

Étape 12.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 2 \int x d x + \int 2 d x$

Étape 12.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Étape 12.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Étape 12.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Étape 12.8

Simplifiez

$g (x) = x^{2} + 2 x + C$

Étape 13

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - y + g (x)$ .

$f (x, y) = - y + x^{2} + 2 x + C$